线性代数/矩阵和行列式的介绍

行列式是一个函数，它将一个方阵关联到它定义的域上的一个元素（通常是实数或复数）。

矩阵

矩阵的组织

非正式地说，一个 *m*×*n* 矩阵（复数为矩阵）是一个来自 域 的项的矩形表格（也就是说，每个项都是一个 元素 域）。这里 m 是表格中的行数，n 是表格中的列数。不熟悉域概念的人，现在可以假设，对于特征为 0 的域（我们用 F 表示），我们指的是复数集合的某个特定子集。

一个 m×n 矩阵（读作 m 行 n 列矩阵），通常写成

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

第 $i^{th}$ 行是 $F^{n}$ 的一个元素，显示了 n 个分量 ${\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots a_{in}\end{pmatrix}}$. 同样，第 $j^{th}$ 列是 $F^{m}$ 的一个元素，显示了 m 个分量 ${\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}$.

这里 m 和 n 被称为矩阵的 *维数*。矩阵的维数总是先给出行数，然后是列数。还可以说，m 行 n 列矩阵的 *阶数* 为 m×n。

正式地说，一个 m×n 矩阵 M 是一个 函数 $M:A\rightarrow F$ 其中 A = {1,2...m} × {1,2...n}，F 是所考虑的域。几乎总是最好将矩阵可视化为矩形表格（或数组），而不是函数。

只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量），只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）。如果两个相同阶数的矩阵对应元素相等，则认为这两个矩阵相等。矩阵的（i,j）元素（通常写成 $A_{ij}$ 或 $A_{i,j}$）是第 $i^{th}$ 行（从上往下）和第 $j^{th}$ 列（从左往右）交点处的元素。

例如，

${\begin{pmatrix}3&4&8\\2&7&11\\1&1&1\end{pmatrix}}$

是一个 3×3 矩阵（称为 3 行 3 列）。第二行是 ${\begin{pmatrix}2&7&11\end{pmatrix}}$，第三列是 ${\begin{pmatrix}8\\11\\1\end{pmatrix}}$。 (2,3) 元素是第二行和第三列交点处的元素，即 11。

一些特殊的矩阵类型：

• 方阵是指行数和列数相同的矩阵。对角矩阵是指在主对角线上（即在 $A_{i,i}$ 位置）以外，所有其他元素都为零的矩阵。

• 单位矩阵或恒等矩阵 I_n，是指对角线元素为 1，其他元素都为 0 的矩阵。从数学上来说，我们可以说恒等矩阵的 $I_{i,j}$（通常写成 $\delta _{i,j}$ 并称为 克罗内克δ）由以下给出： $\delta _{i,j}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}$

例如，如果 n = 3

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

• m 行 n 列矩阵 A 的转置 是一个 n 行 m 列矩阵 A^T，它是通过将行变成列，列变成行而形成的，即 $A_{i,j}=A_{j,i}^{T}\forall i,j$。例如 ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

• 一个方阵，它的转置等于它本身，被称为对称矩阵；也就是说，如果 $A^{\mathrm {T} }=A.\,$，则 A 是对称的。例如 ${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}$

• 一个方阵，它的转置等于它的负值，被称为反对称矩阵；也就是说，如果 $A^{\mathrm {T} }=-A.\,$，则 A 是反对称的。例如 ${\begin{bmatrix}0&-3&4\\3&0&-5\\-4&5&0\end{bmatrix}}$

这些矩阵的性质将在练习中进行阐述。

行列式

为了定义n阶行列式，假设有n²个域元素s_ij，其中i和j小于或等于n。定义以下函数（该函数在定义中很重要）

S(a₁,a₂,a₃,...,a_n)=逆序数，即对于每个可能的组合，a_n1<a_n2时，n₁>n₂的次数。

假设你有一个从1到n的数字排列{a₁,a₂,a₃,...,a_n)。然后定义行列式的项等于(-1)^{S(a₁,a₂,a₃,...,a_n)}s_1a1,s_2a2,s_3a3,...,s_nan。所有可能项的总和（即通过所有可能的排列）称为行列式。

定理

定义：矩阵 A 的转置 A^T 是指将矩阵的列和行互换后得到的矩阵，即当 A 为矩阵 s_ij 时，矩阵为 s_ji。一个矩阵与其转置具有相同的行列式

$\det(A^{\top })=\det(A).\,$

证明

所有项都是相同的，项的符号也不变，因为所有逆序都保持为逆序。因此，总和是相同的。

定理

互换两行（或列）会改变行列式的符号

$\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \end{bmatrix}}$.

证明

为了证明这一点，假设交换两行（或列）。 那么任何项中的反转都不会受到影响，除了该行（或列）中该项的元素反转，在这种情况下，会增加或减少一个反转，从而改变所有项的符号，从而改变矩阵的符号。 现在，如果交换两行，第 a 行和第 (a+n) 行，那么依次交换第 a 行和 (a+1) 行，然后交换 (a+1) 行和 (a+2) 行，并继续以这种方式进行，直到到达 (a+n-1) 行。 然后向后走，直到回到第 a 行。 这与交换第 a 行和第 (a+n) 行的效果相同，并且需要 n-1 次交换向前走，n-2 次交换向后走，它们的和必须是奇数，所以它乘以 -1 奇数次，因此它的总效果是乘以 -1。

推论

有两行（或列）相同的行列式值为 0。 证明：该行列式将是它自己的加性逆元，因为交换行（或列）不会改变行列式，但仍然会改变行列式的符号。 唯一可能的数字是在它等于 0 时。

定理

它在线性地依赖于矩阵的行和列。

$\det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\ldots \\\lambda a_{1}+\mu b_{1}&\cdots &\lambda a_{n}+\mu b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

证明

这些项的形式为 a₁...$\lambda a+\mu b$...a_n。 使用域的分配律，这得出 a₁...$\lambda a$...a_n + a₁...$\mu b$...a_n，因此此类项的总和是两个行列式的总和

$\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

推论

将一行（或列）乘以一个数加到另一行（或列）不会影响行列式的值。

证明

假设你有一个行列式 A，它的第 k 列加上了另一列乘以一个数：${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}+\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}+\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}+\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}+\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

其中 a_kb 是另一列的元素。根据线性性质，这等于

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

第二个数字等于 0，因为它有两列相同。因此，它等于 ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

这与矩阵 A 相同。

• 很容易看出 $\det(rI_{n})=r^{n}\,$ 因此

$\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,$ 对所有 $n$ 行 $n$ 列矩阵 $A$ 和所有 标量 $r$。

• 在 交换环 R 上的矩阵可逆，当且仅当它的行列式是 R 中的 单位。特别是，如果 A 是在像 域 这样的 实数 或 复数 上的矩阵，那么 A 可逆当且仅当 det(A) 不为零。在这种情况下，我们有

$\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,$

换句话说：Rⁿ 中的向量 v₁,...,v_n 形成一个 基 当且仅当 det(v₁,...,v_n) 不为零。

复数矩阵及其 共轭转置 的行列式是 共轭

$\det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,$