行列式是一个函数，它将一个方阵与它所定义的域中的一个元素相关联（通常是实数或复数）。
矩阵的组织 非正式地，一个m ×n 矩阵（复数矩阵）是一个来自域 的项的矩形表（也就是说，每个项都是一个元素 ）。这里，m是表中行的数量，n是表中列的数量。不熟悉域概念的人，现在可以假设，通过一个特征为0的域（我们将用F表示），我们指的是复数集合的一个特定子集。
一个m×n矩阵（读作m乘n矩阵），通常写成
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)} 第 i t h {\displaystyle i^{th}} F n {\displaystyle F^{n}} ( a i 1 a i 2 ⋯ a i n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots a_{in}\end{pmatrix}}} j t h {\displaystyle j^{th}} F m {\displaystyle F^{m}} ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}
这里，m 和 n 称为矩阵的维度 。矩阵的维度总是先给出行的数量，然后是列的数量。还可以说一个 m 乘 n 矩阵的阶 为 m×n。
形式上，一个 m×n 矩阵 M 是一个函数 M : A → F {\displaystyle M:A\rightarrow F} × {1,2...n}，F 是正在考虑的域。几乎总是最好将矩阵可视化为一个矩形表（或数组），而不是一个函数。
只有一行的矩阵称为行矩阵 （或行向量 ），只有一列的矩阵称为列矩阵 （或列向量 ）。两个相同阶数的矩阵，如果对应元素相等，则认为它们相等。矩阵的（i ,j ）元素（通常写成 A i j {\displaystyle A_{ij}} A i , j {\displaystyle A_{i,j}} i t h {\displaystyle i^{th}} j t h {\displaystyle j^{th}}
例如，
( 3 4 8 2 7 11 1 1 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}3&4&8\\2&7&11\\1&1&1\end{pmatrix}}} 是一个 3×3 矩阵（读作 3 行 3 列）。第二行是 ( 2 7 11 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7&11\end{pmatrix}}} ( 8 11 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\11\\1\end{pmatrix}}}
一些特殊的矩阵类型包括：
方阵 是指行数和列数相同的矩阵。对角矩阵 是指只有主对角线（即 A i , i {\displaystyle A_{i,i}} 单位矩阵 或恒等矩阵 In ，是指主对角线上的元素为 1，其余元素均为 0 的矩阵。用数学语言来说，对于恒等矩阵 I i , j {\displaystyle I_{i,j}} δ i , j {\displaystyle \delta _{i,j}} 克罗内克函数 ），可以表示为： δ i , j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j {\displaystyle \delta _{i,j}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}} 例如，当 n = 3 时
I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] . {\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.} 一个 m×n 矩阵 A 的转置 是指将 A 的行变成列、列变成行而得到的 n×m 矩阵 AT ，即 A i , j = A j , i T ∀ i , j {\displaystyle A_{i,j}=A_{j,i}^{T}\forall i,j} [ 1 2 3 4 5 6 ] T = [ 1 3 5 2 4 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;} 如果一个方阵的转置等于它自身，则称该方阵为对称矩阵 ；也就是说，如果 A T = A . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A.\,} [ 1 2 3 2 4 − 5 3 − 5 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}} 如果一个方阵的转置等于它的负数，则称该方阵为反对称矩阵 ；也就是说，如果 A T = − A . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=-A.\,} [ 0 − 3 4 3 0 − 5 − 4 5 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-3&4\\3&0&-5\\-4&5&0\end{bmatrix}}} 这些矩阵的性质将在练习中讨论。
为了定义 n 阶行列式，假设存在一个域的 n2 个元素 sij ，其中 i 和 j 小于或等于 n。定义以下函数（此函数在定义中很重要）
S(a1 ,a2 ,a3 ,...,an )=逆序数，即对于每个可能的组合，an1 <an2 时，n1 >n2 的次数。
假设你有一个从 1 到 n 的数字排列 {a1 ,a2 ,a3 ,...,an )。然后定义行列式的项等于 (-1)S(a1 ,a2 ,a3 ,...,an ) s1a1 ,s2a2 ,s3a3 ,...,snan 。所有可能项（即通过所有可能的排列）的总和称为行列式。
定义：矩阵 A 的转置 AT 是当列和行互换时得到的矩阵，即当 A 是矩阵 sij 时，矩阵 sji 。矩阵及其转置 的行列式相同
det ( A ⊤ ) = det ( A ) . {\displaystyle \det(A^{\top })=\det(A).\,} 所有项都是相同的，并且项的符号也没有改变，因为所有逆序仍然是逆序。因此，总和是相同的。
交换两行（或列）会改变行列式的符号
det [ ⋯ row A ⋯ row B ⋯ ] = − det [ ⋯ row B ⋯ row A ⋯ ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \end{bmatrix}}} 为了证明这一点，假设交换两行（或列）。然后项中的任何逆序都不会受到影响，除非项中该行（或列）内的元素逆序，在这种情况下会增加或减少一个逆序，从而改变所有项的符号，从而改变矩阵的符号。现在，如果交换两行，第 a 行和第（a+n）行，然后依次交换第 a 行和第（a+1）行，然后交换第（a+1）行和第（a+2）行，并继续以这种方式进行，直到达到第（a+n-1）行。然后向后进行，直到回到第 a 行。这与交换第 a 行和第（a+n）行的效果相同，并且向前进行需要 n-1 次交换，向后进行需要 n-2 次交换，它们的总和必须是奇数，因此它乘以 -1 奇数次，因此它的总效果是乘以 -1。
具有两行（或列）相同的行列式值为 0。证明：该行列式将是它自身的加性逆，因为交换行（或列）不会改变行列式，但仍会改变行列式的符号。唯一可能的是它等于 0。
它在线性地作用于矩阵的行和列。
det [ ⋱ ⋮ … λ a 1 + μ b 1 ⋯ λ a n + μ b n ⋯ ⋮ ⋱ ] = λ det [ ⋱ ⋮ ⋯ a 1 ⋯ a n ⋯ ⋮ ⋱ ] + μ det [ ⋱ ⋮ ⋯ b 1 ⋯ b n ⋯ ⋮ ⋱ ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\ldots \\\lambda a_{1}+\mu b_{1}&\cdots &\lambda a_{n}+\mu b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}} 项的形式为 a1 ... λ a + μ b {\displaystyle \lambda a+\mu b} n 。使用域的分配律，结果为 a1 ... λ a {\displaystyle \lambda a} n + a1 ... μ b {\displaystyle \mu b} n ，因此这种项的和是两个行列式的和。
λ det [ ⋱ ⋮ ⋯ a 1 ⋯ a n ⋯ ⋮ ⋱ ] + μ det [ ⋱ ⋮ ⋯ b 1 ⋯ b n ⋯ ⋮ ⋱ ] {\displaystyle \lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}
将一行（或一列）乘以一个数加到另一行（或一列）中，不会影响行列式的值。
假设你有一个行列式 A，其中第 k 列加上另一列乘以一个数： [ a 11 a 12 a 13 … a 1 k + μ a 1 b … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 k + μ a 2 b … a 2 n a 31 a 32 a 33 … a 3 k + μ a 3 b … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … a n k + μ a n b … a n n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}+\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}+\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}+\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}+\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
其中 akb 是另一列的元素。根据线性性质，这等于
[ a 11 a 12 a 13 … a 1 k … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 k … a 2 n a 31 a 32 a 33 … a 3 k … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … a n k … a n n ] + [ a 11 a 12 a 13 … μ a 1 b … a 1 n a 21 a 22 a 23 … μ a 2 b … a 2 n a 31 a 32 a 33 … μ a 3 b … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … μ a n b … a n n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
第二个数字等于 0，因为它有两列相同。因此，它等于 [ a 11 a 12 a 13 … a 1 k … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 k … a 2 n a 31 a 32 a 33 … a 3 k … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … a n k … a n n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
这与矩阵 A 相同。
很容易看出 det ( r I n ) = r n {\displaystyle \det(rI_{n})=r^{n}\,} det ( r A ) = det ( r I n ⋅ A ) = r n det ( A ) {\displaystyle \det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} A {\displaystyle A} 标量 r {\displaystyle r} 在交换环 R 上的矩阵是可逆的当且仅当它的行列式是R 中的一个单位 。特别是，如果A 是在诸如域 的实数 或复数 上的矩阵，那么A 是可逆的当且仅当det(A )不为零。在这种情况下，我们有 det ( A − 1 ) = det ( A ) − 1 . {\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,} 换句话说：R n v 1 ,...,v n 基 当且仅当det(v 1 ,...,v n
复矩阵及其共轭转置 的行列式是共轭 的
det ( A ∗ ) = det ( A ) ∗ . {\displaystyle \det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,} 
