线性代数/逆矩阵/解

解

问题 1

在例 4.10 中补充中间步骤。

答案

以下是一种方法。

{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\1&-1&0&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\0&-1&-1&0&-1&1\end{array}}\right)

{\begin{aligned}&{\xrightarrow[{}]{(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\0&0&-4/3&1/3&-1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-(3/4)\rho _{3}}]{(1/3)\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&-1/3&1/3&0&0\\0&0&1&-1/4&3/4&-3/4\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{-\rho _{3}+\rho _{1}}]{(1/3)\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1/4&1/4&3/4\\0&1&0&1/4&1/4&-1/4\\0&0&1&-1/4&3/4&-3/4\end{array}}\right)\end{aligned}}

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问题 2

利用推论 4.12 判断每个矩阵是否存在逆矩阵。

${\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&4\\1&-3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-3\\-4&6\end{pmatrix}}$

答案

是的，它有逆矩阵： $ad-bc=2\cdot 1-1\cdot (-1)\neq 0$ .
是的。
不。

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问题 3

对于前面问题中的每个可逆矩阵，使用推论 4.12 求出它的逆矩阵。

答案

$\displaystyle {\frac {1}{2\cdot 1-1\cdot (-1)}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/3&-1/3\\1/3&2/3\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {1}{0\cdot (-3)-4\cdot 1}}\cdot {\begin{pmatrix}-3&-4\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3/4&1\\1/4&0\end{pmatrix}}$
前面的问题表明不存在逆矩阵。

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问题 4

使用高斯-若尔当消元法求出逆矩阵（如果存在）。检查 $2\!\times \!2$ 矩阵的答案，并与使用推论 4.12 得到的结果进行核对。

${\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1/2\\3&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&2&4\\-1&1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1&5\\0&-2&4\\2&3&-2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&2&3\\1&-2&-3\\4&-2&-3\end{pmatrix}}$

答案

消元过程是常规的。
$\left({\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\0&2&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{(1/2)\rho _{2}}]{(1/3)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&1/3&1/3&0\\0&1&0&1/2\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&1/3&-1/6\\0&1&0&1/2\end{array}}\right)$
这个答案与检查的答案一致。
${\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{3\cdot 2-0\cdot 1}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}={\frac {1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}$
这个约简很容易。 $\left({\begin{array}{cc|cc}2&1/2&1&0\\3&1&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}2&1/2&1&0\\0&1/4&-3/2&1\end{array}}\right)$
$\;{\xrightarrow[{4\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&1/4&1/2&0\\0&1&-6&4\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/4)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&2&-1\\0&1&-6&4\end{array}}\right)$
检查结果一致。
${\frac {1}{2\cdot 1-3\cdot (1/2)}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1/2\\-3&2\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1&-1/2\\-3&2\end{pmatrix}}$
尝试使用高斯-约旦消元法
$\left({\begin{array}{cc|cc}2&-4&1&0\\-1&2&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}2&-4&1&0\\0&0&1/2&1\end{array}}\right)$
表明左侧不会简化为单位矩阵，因此不存在逆矩阵。检验 $ad-bc=2\cdot 2-(-4)\cdot (-1)=0$ 与之相符。
这将得到一个逆矩阵。
$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\-1&1&0&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\0&0&-1&1&-1&1\end{array}}\right)$
${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{-\rho _{3}}]{(1/2)\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&1&2&0&1/2&0\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-3\rho _{3}+\rho _{1}}]{-2\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&4&-3&3\\0&1&0&2&-3/2&2\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&-3/2&1\\0&1&0&2&-3/2&2\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\end{aligned}}$
这是一种进行约简的方法。
$\left({\begin{array}{ccc|ccc}0&1&5&1&0&0\\0&-2&4&0&1&0\\2&3&-2&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&3&-2&0&0&1\\0&-2&4&0&1&0\\0&1&5&1&0&0\end{array}}\right)$
${\begin{aligned}&\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&3&-2&0&0&1\\0&-2&4&0&1&0\\0&0&7&1&1/2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -(1/2)\rho _{2}\\[-5pt]\scriptstyle (1/7)\rho _{3}\end{array}}]{(1/2)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&-1&0&0&1/2\\0&1&-2&0&-1/2&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right)\\&\;{\xrightarrow[{\rho _{3}+\rho _{1}}]{2\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&0&1/7&1/14&1/2\\0&1&0&2/7&-5/14&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2/7&17/28&1/2\\0&1&0&2/7&-5/14&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right)\end{aligned}}$
不存在逆矩阵。
${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\1&-2&-3&0&1&0\\4&-2&-3&0&0&1\end{array}}\right)&\;{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\0&-3&-9/2&-1/2&1&0\\0&-6&-9&-2&0&1\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\0&-3&-9/2&-1/2&1&0\\0&0&0&-1&-2&1\end{array}}\right)\end{array}}$
作为检查，请注意起始矩阵的第三列是 $3/2$ 乘以第二列，因此它确实是奇异的，因此没有逆矩阵。

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问题 5

哪个矩阵的逆矩阵是这个？

{\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}

答案

我们可以使用推论 4.12。

{\frac {1}{1\cdot 5-2\cdot 3}}\cdot {\begin{pmatrix}5&-3\\-2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}}

问题 6

逆运算如何与矩阵的标量乘法和加法交互？

什么是 $rH$ 的逆矩阵？
是 $(H+G)^{-1}=H^{-1}+G^{-1}$ 吗？

答案

证明逆矩阵是 $r^{-1}H^{-1}=(1/r)\cdot H^{-1}$ （当然，前提是矩阵可逆）很容易。
不。一方面， $H+G$ 有逆矩阵并不意味着 $H$ 有逆矩阵，也不意味着 $G$ 有逆矩阵。这两个矩阵都没有逆矩阵，但它们的和有。
${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
另一个要点是，仅仅因为 $H$ 和 $G$ 都有逆矩阵，并不意味着 $H+G$ 也有逆矩阵；这里是一个例子。
${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
第三点是，即使两个矩阵都有逆矩阵，并且它们的和也有逆矩阵，也不意味着等式成立。
${\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}}^{-1}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/3&0\\0&1/3\end{pmatrix}}^{-1}$
但是
${\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/5&0\\0&1/5\end{pmatrix}}^{-1}$
而 $(1/2)_{+}(1/3)$ 不等于 $1/5$ 。

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问题 7

是否 $(T^{k})^{-1}=(T^{-1})^{k}$ ？

答案

是的： $T^{k}(T^{-1})^{k}=(TT\cdots T)\cdot (T^{-1}T^{-1}\cdots T^{-1})=T^{k-1}(TT^{-1})(T^{-1})^{k-1}=\dots =I$ 。

问题 8

是否 $H^{-1}$ 可逆？

答案

是的， $H^{-1}$ 的逆矩阵是 $H$ 。

问题 9

对于每个实数 $\theta$ ，令 $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由以下矩阵表示。

{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}

证明 $t_{\theta _{1}+\theta _{2}}=t_{\theta _{1}}\cdot t_{\theta _{2}}$ 。同样证明 ${t_{\theta }}^{-1}=t_{-\theta }$ .

答案

一种验证第一个等式的方法是使用三角学的角和公式。

{\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}&-\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\\\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\\\sin \theta _{1}&\cos \theta _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta _{2}&-\sin \theta _{2}\\\sin \theta _{2}&\cos \theta _{2}\end{pmatrix}}\end{array}}

以类似的方式验证第二个等式。

当然，这些等式不仅可以验证，还可以通过回顾 $t_{\theta }$ 是绕原点旋转向量 $\theta$ 弧度的映射来理解。

问题 10

完成推论 4.12 证明的计算。

答案

有两种情况。对于第一种情况，我们假设 $a$ 不为零。那么

{\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{cc|cc}a&b&1&0\\0&-(bc/a)+d&-c/a&1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc|cc}a&b&1&0\\0&(ad-bc)/a&-c/a&1\end{array}}\right)

表明矩阵在 $a\neq 0$ 的情况下可逆，当且仅当 $ad-bc\neq 0$ 。为了找到逆矩阵，我们继续进行 Jordan 化简。

{\xrightarrow[{(a/ad-bc)\rho _{2}}]{(1/a)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{cc|cc}1&b/a&1/a&0\\0&1&-c/(ad-bc)&a/(ad-bc)\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(b/a)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&d/(ad-bc)&-b/(ad-bc)\\0&1&-c/(ad-bc)&a/(ad-bc)\end{array}}\right)

另一个情况是 $a=0$ 的情况。我们将交换矩阵得到 $c$ 到 $1,1$ 位置。

{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}c&d&0&1\\0&b&1&0\end{array}}\right)

这个矩阵非奇异当且仅当 $b$ 和 $c$ 都不为零（在 $a=0$ 的前提下，这等价于 $ad-bc\neq 0$ ）。为了找到逆矩阵，我们进行 Jordan 化简。

{\xrightarrow[{(1/b)\rho _{2}}]{(1/c)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&d/c&0&1/c\\0&1&1/b&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(d/c)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&-d/bc&1/c\\0&1&1/b&0\end{array}}\right)

(注意，这是必需的，因为 $a=0$ 会导致 $ad-bc=-bc$ ).

问题 11

证明矩阵

H={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}

有无限多个右逆矩阵。证明它没有左逆矩阵。

答案

对于 $H$ 作为 $2\!\times \!3$ 矩阵，在寻找矩阵 $G$ 使得组合 $HG$ 充当 $2\!\times \!2$ 单位矩阵，我们需要 $G$ 为 $3\!\times \!2$ 矩阵。建立方程

{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m&n\\p&q\\r&s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

并求解得到的线性方程组

{\begin{array}{*{6}{rc}r}m&&&&+r&&=&1\\&n&&&&+s&=&0\\&&p&&&&=&0\\&&&q&&&=&1\end{array}}

得到无限多个解。

\{{\begin{pmatrix}m\\n\\p\\q\\r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}

因此， $H$ 有无数个右逆。

对于左逆，方程

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

产生一个包含九个方程和四个未知数的线性方程组。

{\begin{array}{*{6}{rc}r}a&&&&&&&&&&&=&1\\&&b&&&&&&&&&=&0\\a&&&&&&&&&&&=&0\\&&&&c&&&&&&&=&0\\&&&&&&d&&&&&=&1\\&&&&c&&&&&&&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&0\\&&&&&&&&&&f&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&1\end{array}}

这个方程组是不相容的（第一个方程与第三个方程冲突，第七个方程与第九个方程冲突），因此没有左逆。

问题 12

在例 4.1 中， $\eta$ 有几个左逆？

答案

关于标准基，我们有

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{3}}(\eta )={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}

并建立方程来求矩阵的逆

{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})

产生一个线性方程组。

{\begin{array}{*{6}{rc}r}a&&&&&&&&&&&=&1\\&&b&&&&&&&&&=&0\\&&&&&&d&&&&&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&1\end{array}}

该系统在 $a,\ldots ,f$ 中有无穷多个解，因为其中两个变量是完全不受限制的

\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+c\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+f\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,f\in \mathbb {R} \}

因此，矩阵方程有无穷多个解。

\{{\begin{pmatrix}1&0&c\\0&1&f\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,f\in \mathbb {R} \}

例如，保持基底固定在 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ ，例如取 $c=2$ 和 $f=3$ ，得到了一个表示该映射的矩阵。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\;{\stackrel {f_{2,3}}{\longmapsto }}\;{\begin{pmatrix}x+2z\\y+3z\end{pmatrix}}

很容易验证 $f_{2,3}\circ \eta$ 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的恒等映射。

问题 13

如果一个矩阵有无穷多个右逆，它能有无穷多个左逆吗？必须有吗？

答案

根据引理 4.3，它不可能有无穷多个左逆，因为具有左逆和右逆的矩阵每个只有一個（并且每个都是另一个——左逆矩阵和右逆矩阵是相等的）。

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问题 14

假设 $H$ 可逆，且 $HG$ 为零矩阵。证明 $G$ 为零矩阵。

答案

矩阵乘法的结合律表明一方面 $H^{-1}(HG)=H^{-1}Z=Z$ ，另一方面 $H^{-1}(HG)=(H^{-1}H)G=IG=G$ .

问题 15

证明如果 $H$ 可逆，则逆矩阵与矩阵 $GH^{-1}=H^{-1}G$ 可交换当且仅当 $H$ 本身与该矩阵 $GH=HG$ 可交换。

答案

将第一个方程的两边乘以 $H$ .

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问题 16

证明如果 $T$ 为方阵，且 $T^{4}$ 为零矩阵，则 $(I-T)^{-1}=I+T+T^{2}+T^{3}$ 。推广此结论。

答案

验证当 $I-T$ 两边乘以该表达式（假设 $T^{4}$ 为零矩阵）后得到的结果是单位矩阵很容易。显而易见的推广是，如果 $T^{n}$ 为零矩阵，则 $(I-T)^{-1}=I+T+T^{2}+\cdots +T^{n-1}$ ；再次验证也很容易。

建议所有读者练习此题。

问题 17

设 $D$ 为对角矩阵。描述 $D^{2}$ , $D^{3}$ , ... , 等等。描述 $D^{-1}$ , $D^{-2}$ , ... , 等等。适当地定义 $D^{0}$ 。

答案

矩阵的幂是通过对对角线元素求幂得到的。也就是说， $D^{2}$ 除了对角线元素为 ${d_{1,1}}^{2}$ , ${d_{2,2}}^{2}$ , 等等，其余元素都为零。这表明可以将 $D^{0}$ 定义为单位矩阵。

问题 18

证明任何与可逆矩阵行等价的矩阵也是可逆的。

答案

假设 $B$ 与 $A$ 行等价，并且 $A$ 是可逆的。由于它们是行等价的，因此存在一系列行操作将其中一个矩阵化为另一个。这种化简可以用矩阵来完成，例如， $A$ 可以通过行操作变换为 $B$ ，如下所示： $B=R_{n}\cdots R_{1}A$ 。这个方程式给出了 $B$ 作为一系列可逆矩阵的乘积，根据引理 4.5， $B$ 也是可逆的。

问题 19

以下第一个问题在矩阵乘法部分以问题 15 的形式出现。

证明两个矩阵乘积的秩小于或等于每个矩阵秩的最小值。
证明如果 $T$ 和 $S$ 是方阵，则 $TS=I$ 当且仅当 $ST=I$ .

答案

参见矩阵乘法部分中的问题 15 的答案。
我们将证明这两个条件都等价于这两个矩阵非奇异的条件。由于 $T$ 和 $S$ 是方阵，并且它们的乘积已定义，它们的大小相等，例如 $n\!\times \!n$ 。考虑 $TS=I$ 的一半。根据上一项， $I$ 的秩小于或等于 $T$ 的秩和 $S$ 的秩的最小值。但 $I$ 的秩是 $n$ ，因此 $T$ 的秩和 $S$ 的秩都必须是 $n$ 。因此，每个矩阵都是非奇异的。相同的论证表明 $ST=I$ 意味着每个矩阵都是非奇异的。

问题 20

证明排列矩阵的逆矩阵是其转置矩阵。

答案

逆矩阵是唯一的，因此我们只需要证明它是有效的。检查结果如上所示，作为矩阵乘法机制部分中的问题 9。

问题 21

这个问题的前两部分作为矩阵乘法部分中的问题 12 出现。

证明 ${{(GH)}^{\rm {trans}}}={{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$ .
如果一个方阵的每个 $i,j$ 项等于相应的 $j,i$ 项（也就是说，如果该矩阵等于它的转置），那么该方阵是对称的。证明矩阵 $H{{H}^{\rm {trans}}}$ 和 ${{H}^{\rm {trans}}}H$ 是对称的。
证明转置的逆等于逆的转置。
证明对称矩阵的逆是对称的。

答案

请查看矩阵乘法小节问题 12 的答案。
请查看矩阵乘法小节问题 12 的答案。
将第一部分应用于 $I=AA^{-1}$ ，得到 $I={{I}^{\rm {trans}}}={{(AA^{-1})}^{\rm {trans}}}={{(A^{-1})}^{\rm {trans}}}{{A}^{\rm {trans}}}$ .
将上述结果应用于 ${{A}^{\rm {trans}}}=A$ ，因为 $A$ 是对称的。

建议所有读者练习此题。

问题 22

这个问题的开头部分出现在矩阵乘法小节问题 17 中。

证明投影 $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 的复合是零映射，尽管它们本身都不是零映射。
证明导数 $d^{2}/dx^{2},\,d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 的复合是零映射，尽管它们本身都不是零映射。
用矩阵方程表示上面提到的两个问题。

当两个事物相乘结果为零，但它们本身都不为零时，它们被称为零因子。证明没有零因子是可逆的。

答案

有关前半部分组成项的答案，请参见矩阵乘法小节中的问题 17。对于后半部分的证明，假设 $A$ 是一个零因子，因此存在一个非零矩阵 $B$ 满足 $AB=Z$ （或者 $BA=Z$ ；这种情况类似）。如果 $A$ 是可逆的，那么 $A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=IB=B$ ，但也 $A^{-1}(AB)=A^{-1}Z=Z$ ，这与 $B$ 非零矛盾。