线性代数/拉普拉斯定理

这里我们将介绍一个更通用的关于行列式展开的定理，它基于不止一行或一列。

让我们有一个 n 阶方阵 M。让我们指定 0<k<n 行和列。这些行和列的交集形成了一个 k 阶方阵。这样的矩阵称为 k 阶 **子式**。我们将使用以下符号表示这种子式

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

其中 $i_{1},i_{2},...,i_{k}$ 指定所选行，而 $j_{1},j_{2},...,j_{k}$ 指定所选列。

现在假设我们删除了所选的列和行。然后，我们又得到一个方阵，这次是 n-k 阶。这被称为前面子式的 **余子式**。

考虑子式 $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$，它包含前 k 行和列。

现在考虑行列式 M 中的所有项，这些项的前 k 列元素也属于前 k 行。让这样的项用 q 表示。它的前 k 项位于子式 $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$ 中。现在我们将确定此项在行列式中前面的符号。前 k 个因子都在子式中，因此前 k 个项中的逆序数与子式中的逆序数相同。最后 n-k 个项都在余子式中，因此最后 n-k 个项中的逆序数与余子式中的逆序数相同。注意前 k 个项与最后 n-k 个项之间没有逆序。因此，总的逆序数是子式和余子式中的逆序数之和。让子式中的逆序数用 $r_{1}$ 表示，让子式中的逆序数用 $r_{2}$ 表示。那么行列式 M 中该项的符号就是 $(-1)^{r_{1}+r_{2}}$，因此它等于子式中项的符号和余子式中项的符号的乘积。因此，我们可以得出结论，子式中一项和余子式中一项的乘积给出了行列式 M 中的一项。此外，对于行列式 M 中的所有项，都存在着子式和余子式中相应的两项。因此，所有前 k 个因子也位于前 k 行的项之和，恰好等于子式 $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$ 及其余子式的乘积。

现在我们考虑一个任意的子式

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$.

我们可以交换矩阵 M 的行和列，直到子式的所有行和列都位于左上角。这需要总共 $(i_{1}-1)+(i_{2}-2)+...+(i_{k}-k)+(j_{1}-1)+(j_{2}-2)+...+(j_{k}-k)$ 次行交换。因此，在执行行交换时，它被乘以 -1 那么多次，或者，为了分解 -1 的偶数次幂，它被乘以 $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}$。

我们已经证明，在首个 k 行和列中，包含 k 个项的 所有项之和 等于一个子矩阵与其补矩阵的行列式之积。因此，在子矩阵的行和列中，包含 k 个项的 所有项之和，本质上等于子矩阵的行列式乘以其补矩阵的行列式，再乘以 $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}$.

如果我们把 $M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ 的补矩阵记为 $K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

那么我们可以把这个和的关系表达为 $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

或者

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

其中 $A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}=(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ 称为子矩阵 $<math>M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ 的代数余子式。

由于行列式 M 中的所有项在子矩阵中至少包含 k 个项，每个选定的行中包含一个，我们可以先选择行，然后将所有穿过列选定的项分组。我们已经证明，所有这类项之和等于子矩阵与其代数余子式的乘积。由于我们可以通过适当选择列来选择任何项，因此所有项都属于这类列选择定义的组。因此，所有组都包含行列式中的所有项，所以，如果给出 k 行的选定 $i_{1},i_{2},...,i_{k}$，那么行列式可以表述为和

$\sum M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$，其中列遍历所有可能的k列组合。

当然，一个类似的结果是，给定k列的选择，行列式也可以表征为所有子式与其代数余子式的乘积之和，其中行遍历所有可能的k行组合，可以采用类似的方法证明。