线性代数/线性相关性

在本章中，我们将简要介绍列线性相关性的情况。稍后，在有关向量的部分中，我们将看到线性相关性在一般情况下意味着什么。但是，现在我们考虑它与行列式的关系。

定义

考虑 m 列数字，每列有 n 个来自域 F 的数字

$C_{1}={\begin{Vmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{Vmatrix}},C_{2}={\begin{Vmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{Vmatrix}},..,C_{m}={\begin{Vmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{Vmatrix}}$

我们将两列的加法定义为其对应项相加的列，并将域 F 中的数字与列的标量乘法定义为将每一项乘以该数字的列。

我们称之为总和

$\alpha _{1}{\begin{Vmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{Vmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{Vmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{Vmatrix}}+..+\alpha _{m}{\begin{Vmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{Vmatrix}}$

对于任何域元素 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$，称为列的线性组合 $C_{1},C_{2},...,C_{n}$

现在假设这些列形成一个 n 阶行列式。然后我们有以下结果

定理
如果其中一列是其他列的线性组合，则行列式为 0。

证明
根据之前证明的一个定理，当行列式中的一列（或一行）是其他列（或行）的线性组合时，行列式为 0。由于作为其他列的线性组合的列在行列式中仍然是其他列的线性组合，因此行列式为 0。

这个定理的逆命题也是正确的，我们将在本页稍后证明这一点。