线性代数/列向量的线性相关性

设 C₁, C₂, C₃, ..., C_n 为 n 列 m 个数字 $C_{n}={\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\a_{3n}\\\vdots \\a_{mn}\\\end{bmatrix}}$.

列向量 C₁, C₂, C₃, ..., C_n 的线性组合 n₁C₁+n₂C₂+n₃C₃+...+n_nC_n 是一个列向量：

$C_{n}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\\vdots \\c_{n}\\\end{bmatrix}}$.

其中 c_k=n₁a_k1+n₁a_k1+n₂a_k2+n₃a_k3+...+n_na_kn。

定理

如果存在一个 n 阶行列式 A=a_ij，并且有 n 列 n 个元素，使得第 j 列的第 i 个元素等于 a_ij，那么如果其中一列是其他列的线性组合，则该行列式等于 0。

证明

假设第 k 列是其他列的线性组合，

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &c_{1}a_{11}+c_{2}a_{12}+c_{3}a_{13}+\ldots +c_{n}a_{1}n&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &c_{1}a_{21}+c_{2}a_{22}+c_{3}a_{23}+\ldots +c_{n}a_{2}n&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{23}&a_{33}&\ldots &c_{1}a_{31}+c_{2}a_{32}+c_{3}a_{33}+\ldots +c_{n}a_{3}n&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n3}&a_{n3}&\ldots &c_{1}a_{n1}+c_{2}a_{n2}+c_{3}a_{n3}+\ldots +c_{n}a_{n}n&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$.

然后根据行列式的线性性质，该行列式等于

$c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{21}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{23}&a_{33}&\ldots &a_{31}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n3}&a_{n3}&\ldots &a_{n1}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{23}&a_{33}&\ldots &a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n3}&a_{n3}&\ldots &a_{n2}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}+c_{3}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{23}&a_{33}&\ldots &a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n3}&a_{n3}&\ldots &a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}+\ldots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{23}&a_{33}&\ldots &a_{3n}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n3}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$.

由于所有这些矩阵都有重复的列，所以它们的行列式为 0，因此它们的和为 0。

矩阵的秩

矩阵的秩是指不等于 0 的子式的最大阶数。秩等于矩阵秩的子式称为矩阵的基础子式，而基础子式所包含的列称为基础列。