线性代数/线性变换

线性变换是数学中一个重要的概念，因为许多现实世界的现象可以用线性模型来近似。

与线性函数不同，线性变换作用于向量和数字。

动机和定义

假设我们在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中有向量 ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$，我们将它旋转 90 度，得到向量 ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

另一个例子，我们不是旋转向量，而是拉伸它，所以向量 $\mathbf {v}$ 变成了 $2\mathbf {v}$，例如。 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 变成了 ${\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$

或者，如果我们看一下一个向量在 x 轴上的投影 - 提取它的 x 分量 -，例如从 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 我们得到 ${\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

这些例子都是两个向量之间映射的例子，并且都是线性变换。如果变换矩阵的规则称为 $T$，我们通常将 $T\mathbf {v}$ 用于表示向量 $\mathbf {v}$ 由规则 $T$ 的映射。 $T$ 通常被称为变换。

注意我们并不总是像写函数一样写括号。但是，我们应该写括号，尤其是在我们要表示多个向量的和或积或组合的映射时。

定义

线性算子

假设有一个域 K，令 x 为该域中的一个元素。令 O 为一个从 K 取值的函数，其中 O(x) 是域 J 中的一个元素。当且仅当 O 满足以下条件时，定义 O 为线性形式：

1. O(x+y)=O(x)+O(y)
2. O(λx)=λO(x)

线性形式

假设有一个向量空间 V，令 x 为该向量空间中的一个元素。令 F 为一个从 V 取值的函数，其中 F(x) 是域 K 中的一个元素。当且仅当 F 满足以下条件时，定义 F 为线性形式：

1. F(x+y)=F(x)+F(y)
2. F(λx)=λF(x)

线性变换

这一次，我们不考虑域，而是考虑从一个向量空间到另一个向量空间的函数。令 T 为一个从一个向量空间 V 取值的函数，其中 L(V) 是另一个向量空间中的元素。当 T 满足以下条件时，定义 L 为线性变换：

1. 保持标量乘法：T(λx) = λTx
2. 保持加法：T(x+y) = Tx + Ty

注意，并非所有的变换都是线性的。现实世界中许多简单的变换也是非线性的。对它们的学习更难，这里不进行讨论。例如，变换 S（其输入和输出都是 R² 中的向量）定义为

$S\mathbf {x} =S{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xy\\\cos(y)\end{pmatrix}}$

通过研究更简单的线性变换，我们可以了解非线性变换。

我们通常以以下方式描述变换 T：

$T:V\rightarrow W$

这意味着 T（无论是什么变换）将向量空间 V 中的向量映射到向量空间 W 中的一个向量。

实际的变换可以写成，例如

$T{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y\\x-y\end{pmatrix}}$

例子和证明

这里是一些线性变换的例子。同时，让我们看看如何证明我们可能发现的变换是线性的还是非线性的。

投影

让我们以 R² 中的向量在x轴上的投影为例。我们称此变换为 T。

我们知道 T 将 R² 中的向量映射到 R² 中的向量，所以我们可以说

$T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$

然后我们可以将变换本身写成

$T{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\0\end{pmatrix}}$

很明显，它是线性的。（你能在不看下面答案的情况下明白为什么吗？）

让我们进行一个证明，以验证定义中的条件是否成立。

保持标量乘法

我们需要证明，对于所有向量 v 和所有标量 λ，T(λv)=λT(v)。

令

$\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}$.

然后

$\lambda \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\end{pmatrix}}$

现在

$T(\lambda \mathbf {v} )=T{\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\0\end{pmatrix}}$

如果我们计算出 λT(v) 并发现它与上面的向量相同，我们就证明了我们的结果。

$\lambda T\mathbf {v} =\lambda {\begin{pmatrix}v_{0}\\0\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\0\end{pmatrix}}$

这与上面的向量相同，所以在这个变换 T 下，标量乘法保持不变。

加法保持不变

我们希望证明对于所有向量 x 和 y，T(x+y)=Tx+Ty。

令

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}$.

和

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}$.

现在

$T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=T\left({\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}\right)=$

$T{\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\x_{1}+y_{1}\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\0\end{pmatrix}}$

现在，如果我们可以证明 Tx+Ty 是上面的向量，我们就证明了这个结果。继续，然后，

$T{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}+T{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{0}\\0\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\0\end{pmatrix}}$

所以我们有变换 T 保持加法。

零向量保持不变

很明显我们有

$T{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

结论

我们已经证明 T 保持加法、标量乘法和零向量。所以 T 必须是线性的。

线性性的反证

当我们想要反证线性性 - 也就是说，要证明一个变换不是线性的，我们只需要找到一个反例。

如果我们能找到一个变换不保持加法、标量乘法或零向量的例子，我们就可以得出结论，这个变换不是线性的。

例如，考虑变换

$T{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x^{3}\\y^{2}\end{pmatrix}}$

我们怀疑它不是线性的。为了证明它不是线性的，取向量

$\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

然后

$T(2\mathbf {v} )={\begin{pmatrix}64\\16\end{pmatrix}}$

但是

$2T(\mathbf {v} )={\begin{pmatrix}16\\8\end{pmatrix}}$

所以我们立刻可以断言 T 不是线性的，因为它不保持标量乘法。

习题

根据以上内容，判断以下变换是否为线性变换。将每个变换写成 T:V -> W 的形式，并确定 V 和 W。（偶数题答案见后）

1. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}^{2}+v_{1}\\v_{1}\end{pmatrix}}$
2. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\v_{0}\end{pmatrix}}$
3. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}$
4. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}-v_{2}\\v_{1}\end{pmatrix}}$

答案

2. 否。检查零向量是否被保持可以很容易地确认这一点。T : R² -> R²

4. 是。T : R³ -> R²。

像和核

线性变换有一些基本的概念，比如核和像，它们类似于函数的零点和值域。

核

线性变换 T: V -> W 的核是 V 中所有映射到 W 中零向量的向量的集合，即，

$\mathrm {ker} \ T=\{v\in V\ |\ T\mathbf {v} =\mathbf {0} \}$

由于矩阵方程 Ax=0 的相似性，核与矩阵有巧合。

变换 T: V->W 的核总是 V 的子空间。变换或矩阵的维数称为零度。

像

线性变换 T:V->W 的图像 是 W 中所有从 V 中的向量映射得到的向量集合。例如，对于将所有向量映射为零向量的平凡映射 T:V->W，其图像就是零向量。（核是什么？）。

更正式地说，我们说变换 T:V->W 的图像为以下集合：

$\mathrm {im} \ T=\{w\in W\ |\ w=T\mathbf {v} \ \mathrm {and} \ \mathbf {v} \in V\}$

同构

如果线性变换 T:V -> W 满足以下条件，则它是同构变换：

• 一一对应。
• 核(T) = {0} 且值域(T) = W。
• 存在 T 的逆。
• dim(V) = dim(W)。