线性代数/线性变换

线性变换 是数学中一个重要的概念，因为许多现实世界现象可以用线性模型来近似。

与线性函数不同，线性变换不仅作用于数字，也作用于向量。

动机和定义

假设我们有向量 ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，我们将其旋转 90 度，得到向量 ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

另一个例子，我们不旋转向量，而是拉伸它，所以向量 $\mathbf {v}$ 变为 $2\mathbf {v}$，例如 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 变为 ${\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$

或者，如果我们看一下一个向量在 x 轴上的投影 - 提取它的 x 分量 -，例如从 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 中得到 ${\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

这些例子都是两个向量之间映射的例子，并且都是线性变换。如果变换矩阵的规则称为$T$，我们通常写$T\mathbf {v}$来表示向量$\mathbf {v}$ 通过规则$T$ 的映射。 $T$ 通常被称为变换。

注意我们并不总是像写函数那样写括号。但是我们应该写括号，尤其是在我们要表达多个向量的和或积或组合的映射时。

定义

线性算子

假设有一个域 K，并设 x 为该域中的一个元素。设 O 为从 K 取值的函数，其中 O(x) 是域 J 中的一个元素。定义 O 为线性形式，当且仅当

1. O(x+y)=O(x)+O(y)
2. O(λx)=λO(x)

线性形式

假设有一个向量空间 V，并设 x 为该向量空间中的一个元素。设 F 为从 V 取值的函数，其中 F(x) 是域 K 中的一个元素。定义 F 为线性形式，当且仅当

1. F(x+y)=F(x)+F(y)
2. F(λx)=λF(x)

线性变换

这一次，我们不考虑域，而是考虑从一个向量空间到另一个向量空间的函数。设 T 为从一个向量空间 V 取值的函数，其中 L(V) 是另一个向量空间的元素。当 T

1. 保持标量乘法: T(λx) = λTx
2. 保持加法: T(x+y) = Tx + Ty

注意，并非所有变换都是线性的。现实世界中许多简单的变换也是非线性的。它们的研究更加困难，这里不做讨论。例如，变换S（其输入和输出都是R²中的向量）定义为

$S\mathbf {x} =S{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xy\\\cos(y)\end{pmatrix}}$

我们可以通过研究更简单的线性变换来学习非线性变换。

我们通常以以下方式描述变换 T

$T:V\rightarrow W$

这意味着 T，无论它是什么变换，都将向量空间 V 中的向量映射到向量空间 W 中的向量。

实际变换可以写成，例如

$T{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y\\x-y\end{pmatrix}}$

示例和证明

这里是一些线性变换的例子。同时，让我们看看如何证明我们可能发现的变换是线性的还是非线性的。

投影

让我们将R²中的向量投影到x轴上的向量。让我们将这个变换称为 T。

我们知道 T 将R²中的向量映射到R²中，所以我们可以说

$T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$

然后我们可以将变换本身写成

$T{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\0\end{pmatrix}}$

显然这是线性的。（你能在不看下面内容的情况下理解为什么吗？）

让我们通过一个证明来验证定义中的条件是否成立。

保持标量乘法

我们要证明对于所有向量v和所有标量λ，T(λv)=λT(v)。

令

$\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}$.

那么

$\lambda \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\end{pmatrix}}$

现在

$T(\lambda \mathbf {v} )=T{\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\0\end{pmatrix}}$

如果我们计算λT(v)并发现它与上面的向量相同，我们就证明了我们的结果。

$\lambda T\mathbf {v} =\lambda {\begin{pmatrix}v_{0}\\0\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\0\end{pmatrix}}$

这与上面的向量相同，因此在变换T下，标量乘法保持不变。

加法保持不变

我们要证明对于所有向量x和y，T(x+y)=Tx+Ty。

令

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}$.

以及

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}$.

现在

$T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=T\left({\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}\right)=$

$T{\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\x_{1}+y_{1}\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\0\end{pmatrix}}$

现在，如果我们能证明Tx+Ty等于上面的向量，我们就证明了这个结果。然后继续，

$T{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{pmatrix}}+T{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{0}\\0\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}x_{0}+y_{0}\\0\end{pmatrix}}$

因此，我们可以说变换 T *保持加法*。

零向量被保留

显然，我们有

$T{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

结论

我们已经证明了 T 保持加法、标量乘法和零向量。因此 T 必须是线性的。

线性性的反证

当我们想要*反证*线性——也就是说，*证明*一个变换*不是*线性的，我们只需要找到一个反例。

如果我们能找到一个变换不保持加法、标量乘法或零向量的例子，我们就可以得出结论，该变换不是线性的。

例如，考虑变换

$T{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x^{3}\\y^{2}\end{pmatrix}}$

我们怀疑它不是线性的。为了证明它不是线性的，取向量

$\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

那么

$T(2\mathbf {v} )={\begin{pmatrix}64\\16\end{pmatrix}}$

但是

$2T(\mathbf {v} )={\begin{pmatrix}16\\8\end{pmatrix}}$

因此我们可以立即说 T 不是线性的，因为它不保持标量乘法。

习题

根据以上内容，判断以下变换是否线性。将每个变换写成 T:V -> W 的形式，并确定 V 和 W。（偶数题答案如下）

1. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}^{2}+v_{1}\\v_{1}\end{pmatrix}}$
2. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\v_{0}\end{pmatrix}}$
3. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}$
4. $T{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}-v_{2}\\v_{1}\end{pmatrix}}$

答案

2. 否。检查零向量是否保持，可以立即确认这一事实。T : R² -> R²

4. 是。T : R³ -> R²。

像与核

我们有一些线性变换的基本概念，例如线性变换的核和像，它们类似于函数的零点和值域。

核

线性变换 T: V -> W 的核是 V 中所有映射到 W 中零向量的向量的集合，即，

$\mathrm {ker} \ T=\{v\in V\ |\ T\mathbf {v} =\mathbf {0} \}$

由于矩阵方程 Ax=0，两者巧合。

变换 T: V->W 的核总是 V 的子空间。变换或矩阵的维数称为零度。

像

线性变换 T:V->W 的像是 W 中所有从 V 中向量映射的向量的集合。例如，对于平凡映射 T:V->W，使得 Tx=0，像将是 0。（核是什么？）。

更正式地说，我们说变换 T:V->W 的像是一组

$\mathrm {im} \ T=\{w\in W\ |\ w=T\mathbf {v} \ \mathrm {and} \ \mathbf {v} \in V\}$

同构

如果线性变换 T:V -> W 是

• 一对一且满射的。
• 核(T) = {0} 且值域(T) = W。
• T 的逆存在。
• dim(V) = dim(W)。