线性代数/矩阵逆

一个 n×n 矩阵 A 是另一个 n×n 矩阵 B 的逆矩阵（反之亦然），当且仅当 BA = AB = I，其中 I 是单位矩阵。

一个 n×n 矩阵的逆矩阵可以通过创建一个 n×2n 矩阵来计算，该矩阵的左边是原始矩阵，右边是单位矩阵。对该矩阵进行行化简，右边的部分将是逆矩阵。如果该矩阵不能完全行化简，则它没有逆矩阵。

示例

令 $\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}1&4&4\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}$

我们首先扩展并划分 A 以包含单位矩阵，然后对 A 进行行化简，直到我们到达左边是单位矩阵。

${\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\2&5&8&{\big |}&0&1&0\\3&6&9&{\big |}&0&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&-3&0&{\big |}&-2&1&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow$

${\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&-3&{\big |}&1&-2&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&0&{\big |}&-1/3&-4/3&4/3\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$

矩阵 $\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}-1/3&-4/3&4/3\\2/3&-1/3&0\\-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$ 则是原始矩阵 A 的逆矩阵。