线性代数/矩阵运算

练习 2c ka 问题 3 版 2018

矩阵加法

只有当两个矩阵具有相同的维数（相同的行数和列数）时，才能将它们加在一起。结果矩阵只是其元素是两个加在一起的矩阵中对应元素之和的矩阵。如果矩阵 $A$ 加到矩阵 $B$ 上，结果矩阵是 $C$，那么 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

${\begin{pmatrix}5&1&7\\3&9&4\\0&-2&6\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3&2&4\\7&1&-3\\4&5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8&3&11\\10&10&1\\4&3&12\end{pmatrix}}$

矩阵乘法

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能将两个矩阵相乘。也就是说，如果第一个矩阵是 $n\times m$，那么第二个矩阵必须是 $m\times p$。结果矩阵将具有 $n\times p$ 的维数，其中每个元素都是第一个矩阵中一行中的条目与第二个矩阵中对应列中的条目乘积之和。如果 $C=AB$，那么 $c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

虽然矩阵乘法不满足交换律，但它满足结合律，这意味着 (AB)C=A(BC)。由于矩阵乘法不满足交换律，因此必须指定因子的顺序。AB 将被读作“A 后乘以 B”或“B 前乘以 A”。矩阵乘法满足分配律，所以 A(B+C)=AB+AC。此外，两个非零矩阵不一定具有非零乘积。

没有“矩阵除法”这种说法。要除掉一个矩阵，你需要先得到这个矩阵的逆矩阵，然后乘以它的逆矩阵。我们在下面讨论逆矩阵。

转置

要得到一个矩阵的转置，我们需要交换这个矩阵的行和列。如果我们有一个矩阵 X，它的转置用 X^T 表示。例如

$X={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$

$X^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}$

行列式

矩阵 X 的行列式用 |X| 表示。

逆矩阵

如果矩阵的行列式不为零，则称该矩阵为 **可逆矩阵**。逆矩阵遵循以下公式

$XX^{-1}=X^{-1}X=I$

其中 I 是单位矩阵。