线性代数/OLD/基变换

基变换

之前已经证明，一个方阵可以表示一个向量空间到自身的线性变换，并且这个矩阵依赖于向量空间所选择的基。现在我们将展示如何改变给定向量空间的基。

假设我们有一个向量空间，其基由集合 $A=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 给出，我们想将其改变为集合 $B=b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$。基 B 仍然属于上述向量空间，因此其向量可以用线性组合 [Eq. 1] 表示

$b_{1}=p_{11}a_{1}+p_{12}a_{2}+\ldots +p_{1n}a_{n}$,

$b_{2}=p_{21}a_{1}+p_{22}a_{2}+\ldots +p_{2n}a_{n}$,

$\ldots$

$b_{n}=p_{n1}a_{1}+p_{n2}a_{2}+\ldots +p_{nn}a_{n}$

集合 B 中的每个向量相对于我们开始使用的基（即指定为 A 的集合）都有一个坐标矩阵。我们将此表示为

${\begin{bmatrix}b_{1}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{11}\\p_{12}\\\vdots \\p_{1n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{2}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{21}\\p_{22}\\\vdots \\p_{2n}\\\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}b_{n}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{n1}\\p_{n2}\\\vdots \\p_{nn}\\\end{bmatrix}}$

将这些坐标矩阵作为矩阵 P 的列，我们得到了一个过渡矩阵。这个过渡矩阵将原始基 A 转换为某个向量空间的新基 B。过渡矩阵实际上是之前看到的 [Eq. 1] 的转置。

$P={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\end{bmatrix}}_{A}{\begin{bmatrix}b_{2}\\\end{bmatrix}}_{A}\cdots {\begin{bmatrix}b_{n}\\\end{bmatrix}}_{A}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{11}&\cdots &p_{n1}\\p_{12}&\cdots &p_{n2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{1n}&\cdots &p_{nn}\\\end{bmatrix}}$

总而言之，为了找到从某个基底 F 到某个基底 G 的过渡矩阵，我们必须计算原始基底 F 中每个元素关于另一个基底 G 的坐标向量。以这些坐标向量为列的矩阵就是过渡矩阵。

证明

定理 1

如果 P 是从基底 A 到基底 Z 的过渡矩阵，并且 β 是向量空间中的一个元素，那么有

$P{\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{Z}={\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{A}$

证明

$\beta =b_{1}z_{1}+b_{2}z_{2}+\cdots +b_{n}z_{n}$ $~~~=b_{1}(p_{11}a_{1}+\cdots +p_{1n}a_{n})+\cdots +b_{n}(p_{n1}a_{1}+\cdots +p_{nn}a_{n})$

$~=(b_{1}p_{11}+\cdots +b_{n}p_{n1})a_{1}+\cdots +(b_{1}p_{1n}+\cdots +b_{n}p_{nn})a_{n}$

$\therefore$

${\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}(b_{1}p_{11}+\cdots +b_{n}p_{n1})\\\vdots \\(b_{1}p_{1n}+\cdots +b_{n}p_{nn})\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}p_{11}&\cdots &p_{n1}\\\vdots &~&\vdots \\p_{1n}&\cdots &p_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\\\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{Z}$

$\Box$