线性代数/旧/特征值和特征向量

令$T:V\rightarrow V$为线性映射，其中$V$是域$K$上的向量空间。 那么，如果一些非零向量$v\in V$满足方程$T(v)=\lambda v$，其中$\lambda \in K$，那么$v$是$T$的特征向量，而$\lambda$是其对应的特征值。

等价地，在矩阵中，我们有$Av=\lambda v$。

例如，矩阵${\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}$将向量${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$加倍，并将向量${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$乘以三倍。

如何找到特征向量和特征值

找到特征值和特征向量相当简单。 首先，我们将找到特征值，然后我们将看到如何找到对应于特定特征值的特征向量。

如果 V 是矩阵 A 的特征向量，其特征值为 $\lambda$，那么根据定义，AV=$\lambda$V。减去 $\lambda$V 后，我们得到 AV-$\lambda$V=0。因为 $\lambda$V 等于 $\lambda$IV，其中 I 是 单位矩阵，最终我们得到 (A-$\lambda$I)V=0。
因此，$\lambda$ 是一个特征值当且仅当矩阵 (A-$\lambda$I) 将某个向量映射到 0。幸运的是，这很容易确定，因为矩阵将某个向量映射到零当且仅当它的 行列式 等于零。
让我们举个例子，找到 ${\begin{pmatrix}-1&-3&-6\\0&2&0\\3&3&8\end{pmatrix}}$ 的特征值。我们将从矩阵中减去 tI（t 是一个变量），然后找出行列式 |A-tI| 等于 0 时（这称为 特征多项式）。

A-tI = ${\begin{pmatrix}-1-t&-3&-6\\0&2-t&0\\3&3&8-t\end{pmatrix}}$
|A-tI| 是（用第一行计算）：(-1-t)*(2-t)*(8-t)+3*6*(2-t)，简化一下我们得到 (2-t)²*(5-t)，因为 |A-tI|=0 当 t=2,5 时，特征值为 2 和 5。
让我们找到特征值 2 的特征向量空间。
通过从对角线上减去 2，我们得到 A-2I：${\begin{pmatrix}-3&-3&-6\\0&0&0\\3&3&6\end{pmatrix}}$
向量 ${\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}}$ 构成 A-2I 的 零空间，因此它们的任何线性组合都是特征值为 2 的特征向量。
例如，10*${\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ + 3*${\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}}$=${\begin{pmatrix}20\\6\\-13\end{pmatrix}}$ 以及 ${\begin{pmatrix}-1&-3&-6\\0&2&0\\3&3&8\end{pmatrix}}$*${\begin{pmatrix}20\\6\\-13\end{pmatrix}}$=${\begin{pmatrix}40\\12\\-26\end{pmatrix}}$=2*${\begin{pmatrix}20\\-6\\-13\end{pmatrix}}$
您可以类似地通过计算 A-5I（从对角线上减去 5）并找到它的核空间来找到特征值 5 的特征向量空间。

• 您也可以使用像 octave 这样的数学软件来找到特征值。

octave:1> a=[-1,-3,-6;0,2,0;3,3,8]

a =

  -1  -3  -6
   0   2   0
   3   3   8

octave:2> [v,d]=eig(a)

v =

  -0.89443   0.70711  -0.28280
   0.00000   0.00000   0.90699
   0.44721  -0.70711  -0.31209

d =

  2  0  0
  0  5  0
  0  0  2