线性代数/旧版/矩阵运算

零矩阵

一个零矩阵是一个所有元素都为零的矩阵。一个零矩阵的例子是

$M={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

标量

标量是一个非零常数，用于缩放矩阵。

如果r是一个标量，而A是一个矩阵，那么标量倍数rA是一个矩阵，它的列是A中对应列的r倍。

以下是一个例子：

$r=4\qquad A={\begin{bmatrix}2&&3\\7&&1\end{bmatrix}}$

$rA={\begin{bmatrix}4*2&&4*3\\4*7&&4*1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&12\\28&&4\end{bmatrix}}$

当我们减去两个矩阵时，间接地使用了标量，因为-B可以定义为(-1)B。这意味着当我们从矩阵A中减去矩阵B时，A-B与A+(-1)B相同。

加法和减法

只有当两个矩阵具有相同大小（尺寸）时，它们才能相加或相减。矩阵加法和减法是逐元素进行的，这意味着A+B中的每个元素是A和B中对应元素的总和。

以下是一个矩阵加法的例子：

$A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}7+1&&5+1&&3+1\\4-1&&0+3&&5+2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&6&&4\\3&&3&&7\end{bmatrix}}$

而这是一个减法的例子：

$A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}7-1&&5-1&&3-1\\4+1&&0-3&&5-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&&4&&2\\5&&-3&&4\end{bmatrix}}$

请记住，您不能将两个不同大小的矩阵相加或相减。

以下规则适用于矩阵的加法和标量倍数。
设A，B和C是相同大小的矩阵，并设r和s是标量。

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A + 0 = A
• r(A + B) = rA + rB
• (r + s)A = rA + sA
• r(sA) = (rs)A

矩阵乘法

对于线性代数初学者来说，矩阵乘法比标量乘法略微不直观。然而，它并不比标量乘法更难。

定义

如果A是1 行 m 列矩阵，而B是m 行 1 列矩阵，那么乘积AB可以表示为

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1m}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\\\vdots \\b_{m1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots +a_{1m}b_{m1}\\\end{bmatrix}}$

这些项的求和可以表示为黎曼和

${\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{m}a_{1m}b_{m1}\\\end{bmatrix}}_{(1,1)}$

我们可以利用这一知识来判断矩阵乘法是否可以进行。例如，一个$3\times 2$乘以一个$2\times 3$矩阵将得到一个$3\times 3$矩阵。如果第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，则可以进行乘法（如上述示例所示）。

矩阵乘法不满足交换律，这意味着a * b不等于b * a。通过查看上面的例子，我们可以很容易地看出这一点。

幂

如果A是一个$n\times n$矩阵，并且k是一个正整数，那么$A^{k}$表示A的k个副本的乘积

$A^{k}={\begin{matrix}\underbrace {A\cdots A} \\k\end{matrix}}$

如果A不为零，并且x在$\mathbb {R} ^{n}$中，那么$A^{k}\mathbf {x}$是将x左乘A重复k次的运算结果。如果k = 0，那么$A^{0}\mathbf {x}$应该等于x本身。因此$A^{0}$被解释为单位矩阵。

转置

给定一个 $m\times n$ 矩阵 A，A 的转置是一个 $n\times m$ 矩阵，记作 $A^{T}$，它的列是由 A 中对应行组成的。

例如

$A={\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}3&&5\\2&&7\\6&&9\\1&&0\\5&&2\end{bmatrix}}$

$A^{T}={\begin{bmatrix}a&&c\\b&&d\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}3&&2&&6&&1&&5\\5&&7&&9&&0&&2\end{bmatrix}}$

在进行转置运算时，以下规则适用

1. $\left(A^{T}\right)^{T}=A\,$
2. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\,$
3. 对于任何标量 r，$(rA)^{T}=rA^{T}\,$
4. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\,$

第 4 条规则可以推广到多个因子的乘积，即“矩阵乘积的转置等于其转置的乘积，但顺序相反”。这意味着

$(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})^{T}=a_{n}^{T},...,a_{3}^{T},a_{2}^{T},a_{1}^{T}$