线性代数/映射和矩阵的多项式/解答

解答

此练习推荐给所有读者。

问题 1

如果一个矩阵具有给定的特征多项式，那么它的最小多项式可能是什么？

1. $8\cdot (x-3)^{4}$
2. $(1/3)\cdot (x+1)^{3}(x-4)$
3. $-1\cdot (x-2)^{2}(x-5)^{2}$
4. $5\cdot (x+3)^{2}(x-1)(x-2)^{2}$

每个可能性的度数是多少？

回答

对于每一个，最小多项式必须有一个前导系数为$1$，并且根据定理 1.8，凯莱-哈密顿定理，最小多项式必须包含与特征多项式相同的线性因子，尽管可能次数较低，但不为零次。

1. 可能性是$m_{1}(x)=x-3$，$m_{2}(x)=(x-3)^{2}$，$m_{3}(x)=(x-3)^{3}$，以及$m_{4}(x)=(x-3)^{4}$。注意，$8$被省略了，因为最小多项式必须有一个前导系数为 1。第一个是一次多项式，第二个是二次多项式，第三个是三次多项式，第四个是四次多项式。
2. 可能性包括 $m_{1}(x)=(x+1)(x-4)$，$m_{2}(x)=(x+1)^{2}(x-4)$ 和 $m_{3}(x)=(x+1)^{3}(x-4)$。第一个是二次多项式，即它的次数为二。第二个的次数为三，第三个的次数为四。
3. 我们有 $m_{1}(x)=(x-2)(x-5)$，$m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-5)$，$m_{3}(x)=(x-2)(x-5)^{2}$ 和 $m_{4}(x)=(x-2)^{2}(x-5)^{2}$。它们的次数分别为二、三、三和四。
4. 可能性包括 $m_{1}(x)=(x+3)(x-1)(x-2)$，$m_{2}(x)=(x+3)^{2}(x-1)(x-2)$，$m_{3}(x)=(x+3)(x-1)(x-2)^{2}$ 和 $m_{4}(x)=(x+3)^{2}(x-1)(x-2)^{2}$。$m_{1}$ 的次数为三，$m_{2}$ 的次数为四，$m_{3}$ 的次数为四，$m_{4}$ 的次数为五。

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问题 2

求每个矩阵的最小多项式。

1. ${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&0&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&1&3\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}2&0&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}2&2&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}$
6. ${\begin{pmatrix}-1&4&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&-4&-1&0&0\\3&-9&-4&2&-1\\1&5&4&1&4\end{pmatrix}}$

回答

在每种情况下，我们将使用例 1.12 中的方法。

1. 因为 $T$ 是三角形的，$T-xI$ 也是三角形的。

   $T-xI={\begin{pmatrix}3-x&0&0\\1&3-x&0\\0&0&4-x\end{pmatrix}}$

   特征多项式很容易求得 $c(x)=\left|T-xI\right|=(3-x)^{2}(4-x)=-1\cdot (x-3)^{2}(x-4)$。最小多项式只有两种可能，$m_{1}(x)=(x-3)(x-4)$ 和 $m_{2}(x)=(x-3)^{2}(x-4)$。（注意特征多项式有一个负号，但最小多项式没有，因为它必须有一个为 1 的前导系数）。因为 $m_{1}(T)$ 不是零矩阵

   $(T-3I)(T-4I)={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\1&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   最小多项式是 $m(x)=m_{2}(x)$.

   $(T-3I)^{2}(T-4I)=(T-3I)\cdot {\bigl (}(T-3I)(T-4I){\bigr )}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

2. 正如前一项，矩阵为三角形使得特征多项式计算变得容易。

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}3-x&0&0\\1&3-x&0\\0&0&3-x\end{vmatrix}}=(3-x)^{3}=-1\cdot (x-3)^{3}$

   最小多项式有三种可能，分别为 $m_{1}(x)=(x-3)$, $m_{2}(x)=(x-3)^{2}$, 和 $m_{3}(x)=(x-3)^{3}$. 我们通过计算 $m_{1}(T)$来解决这个问题。

   $T-3I={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   并且 $m_{2}(T)$.

   $(T-3I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   因为 $m_{2}(T)$ 是零矩阵，$m_{2}(x)$ 是最小多项式。
3. 再次，矩阵是三角形的。

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}3-x&0&0\\1&3-x&0\\0&1&3-x\end{vmatrix}}=(3-x)^{3}=-1\cdot (x-3)^{3}$

   再次，最小多项式 $m_{1}(x)=(x-3)$, $m_{2}(x)=(x-3)^{2}$ 和 $m_{3}(x)=(x-3)^{3}$ 三种可能性。我们计算 $m_{1}(T)$

   $T-3I={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

   和 $m_{2}(T)$

   $(T-3I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

   并且 $m_{3}(T)$.

   $(T-3I)^{3}=(T-3I)^{2}(T-3I)={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   因此，最小多项式是 $m(x)=m_{3}(x)=(x-3)^{3}$.
4. 这种情况也是三角形的，这里是指上三角矩阵。

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}2-x&0&1\\0&6-x&2\\0&0&2-x\end{vmatrix}}=(2-x)^{2}(6-x)=-(x-2)^{2}(x-6)$

   最小多项式有两个可能， $m_{1}(x)=(x-2)(x-6)$ 和 $m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-6)$。计算表明，最小多项式不是 $m_{1}(x)$.

   $(T-2I)(T-6I)={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4&0&1\\0&0&2\\0&0&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&-4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   因此，它一定是 $m(x)=m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-6)$。这是一个验证。

   $(T-2I)^{2}(T-6I)=(T-2I)\cdot {\bigl (}(T-2I)(T-6I){\bigr )}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&-4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

5. 特征多项式为

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}2-x&2&1\\0&6-x&2\\0&0&2-x\end{vmatrix}}=(2-x)^{2}(6-x)=-(x-2)^{2}(x-6)$

   最小多项式则有两种可能：$m_{1}(x)=(x-2)(x-6)$ 以及 $m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-6)$。我们检查第一个

   $(T-2I)(T-6I)={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4&2&1\\0&0&2\\0&0&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   表明最小多项式为 $m(x)=m_{1}(x)=(x-2)(x-6)$。
6. 特征多项式为：

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}-1-x&4&0&0&0\\0&3-x&0&0&0\\0&-4&-1-x&0&0\\3&-9&-4&2-x&-1\\1&5&4&1&4-x\end{vmatrix}}=(x-3)^{3}(x+1)^{2}$

   最小多项式有许多可能性，按升序排列如下：$m_{1}(x)=(x-3)(x+1)$, $m_{1}(x)=(x-3)^{2}(x+1)$, $m_{1}(x)=(x-3)(x+1)^{2}$, $m_{1}(x)=(x-3)^{3}(x+1)$, $m_{1}(x)=(x-3)^{2}(x+1)^{2}$, 以及 $m_{1}(x)=(x-3)^{3}(x+1)^{2}$。第一个不成立

   ${\begin{array}{rl}(T-3I)(T+1I)&={\begin{pmatrix}-4&4&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-4&-4&0&0\\3&-9&-4&-1&-1\\1&5&4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&-4&0&0&0\\3&-9&-4&3&-1\\1&5&4&1&5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\-4&-4&0&-4&-4\\4&4&0&4&4\end{pmatrix}}\end{array}}$

   但第二个成立。

   $(T-3I)^{2}(T+1I)=(T-3I){\bigl (}(T-3I)(T+1I){\bigr )}$

   ${\begin{aligned}&={\begin{pmatrix}-4&4&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-4&-4&0&0\\3&-9&-4&-1&-1\\1&5&4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\-4&-4&0&-4&-4\\4&4&0&4&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

   最小多项式是 $m(x)=(x-3)^{2}(x+1)$.

问题 3

求此矩阵的最小多项式。

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}$

回答

其特征多项式具有复根。

${\begin{vmatrix}-x&1&0\\0&-x&1\\1&0&-x\end{vmatrix}}=(1-x)\cdot (x-(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i))\cdot (x-(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i))$

由于根是不同的，特征多项式等于最小多项式。

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问题 4

在 ${\mathcal {P}}_{n}$ 上，微分算子 $d/dx$ 的最小多项式是什么？

回答

我们知道 ${\mathcal {P}}_{n}$ 是一个维度为 $n+1$ 的空间，并且微分算子是指数为 $n+1$ 的幂零算子（例如，取 $n=3$，${\mathcal {P}}_{3}=\{c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,{\big |}\,c_{3},\ldots ,c_{0}\in \mathbb {C} \}$ 三次函数的四阶导数为零多项式）。使用幂零变换的规范形式表示此算子。

${\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &&0\\1&0&0&&&0\\0&1&0&&&\\&&\ddots \\0&0&0&&1&0\end{pmatrix}}$

这是一个 $(n+1)\!\times \!(n+1)$ 矩阵，其特征多项式很简单，$c(x)=x^{n+1}$。 (注意: 这个矩阵是 ${\rm {Rep}}_{B,B}(d/dx)$，其中 $B=\langle x^{n},nx^{n-1},n(n-1)x^{n-2},\ldots ,n!\rangle$。) 为了找到最小多项式，如示例 1.12 所示，我们考虑 $T-0I=T$ 的幂。 但是，当然， $T$ 的第一个零矩阵的幂是 $n+1$。 所以最小多项式也是 $x^{n+1}$。

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问题 5

找到这种形式的矩阵的最小多项式

${\begin{pmatrix}\lambda &0&0&\ldots &&0\\1&\lambda &0&&&0\\0&1&\lambda \\&&&\ddots \\&&&&\lambda &0\\0&0&\ldots &&1&\lambda \end{pmatrix}}$

其中标量 $\lambda$ 是固定的（即，不是变量）。

回答

将矩阵称为 $T$，假设它是一个 $n\!\times \!n$ 矩阵。因为 $T$ 是三角形的，所以 $T-xI$ 是三角形的，特征多项式是 $c(x)=(x-\lambda )^{n}$。为了看到最小多项式相同，考虑 $T-\lambda I$。

${\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &0\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0\\&&\ddots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$

将它识别为幂零度为 $n$ 的变换的规范形式；幂 $(T-\lambda I)^{j}$ 第一次为零时 $j$ 是 $n$。

问题 6

将 ${\mathcal {P}}_{n}$ 中的变换，将 $p(x)$ 映射到 $p(x+1)$ 的最小多项式是什么？

回答

当 $n=3$ 时，它提供了一个提示。 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的自然基是 $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$。 变换的作用是

$1\mapsto 1\quad x\mapsto x+1\quad x^{2}\mapsto x^{2}+2x+1\quad x^{3}\mapsto x^{3}+3x^{2}+3x+1$

因此，表示 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 是这个上三角矩阵。

${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

因为它是一个三角形，所以特征多项式是 $c(x)=(x-1)^{4}$ 这很明显。 对于最小多项式，候选者是 $m_{1}(x)=(x-1)$，

$T-1I={\begin{pmatrix}0&1&1&1\\0&0&2&3\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

$m_{2}(x)=(x-1)^{2}$,

$(T-1I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&6\\0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

$m_{3}(x)=(x-1)^{3}$,

$(T-1I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

以及 $m_{4}(x)=(x-1)^{4}$. 由于 $m_{1}$，$m_{2}$ 和 $m_{3}$ 不正确，$m_{4}$ 必须是正确的，这一点很容易验证。

对于一般的 $n$，该表示是一个上三角矩阵，对角线上为 1。因此，特征多项式为 $c(x)=(x-1)^{n+1}$。验证最小多项式等于特征多项式的一种方法是，类似地论证：假设一个上三角矩阵是 $0$-上三角矩阵，如果对角线上有非零元素，那么它是 $1$-上三角矩阵，如果对角线上只有零，并且对角线上方有非零元素，等等。正如上面的例子所示，归纳论证将表明，当 $T$ 只有非负元素时，$T^{j}$ 是 $j$-上三角矩阵。该论证留给读者自行完成。

问题 7

映射 $\pi :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ 将其投影到前两个坐标上的最小多项式是什么？

回答

映射两次与映射一次相同：$\pi \circ \pi =\pi$，也就是说，$\pi ^{2}=\pi$，因此最小多项式的次数最多为 2，因为 $m(x)=x^{2}-x$ 可以满足要求。线性多项式不满足要求，原因在于将映射应用于 $c_{1}\cdot \pi +c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$（其中 $z$ 是零映射）的左侧和右侧这两个向量。

${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

因此最小多项式是 $m$。

问题 8

找到一个 $3\!\times \!3$ 矩阵，其最小多项式为 $x^{2}$。

回答

这是一个答案。

${\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

问题 9

以下关于 引理 1.9 的证明存在什么错误："如果 $c(x)=\left|T-xI\right|$，那么 $c(T)=\left|T-TI\right|=0$"？(Cullen 1990)

回答

$x$ 必须是标量，而不是矩阵。

问题 10

通过直接计算验证 引理 1.9 对于 $2\!\times \!2$ 矩阵。

回答

矩阵

$T={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

的特征多项式为 $(a-x)(d-x)-bc=x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)$。代入

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{2}-(a+d){\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+(ad-bc){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a^{2}+ad&ab+bd\\ac+cd&ad+d^{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}}$

并检查每个条目之和以查看结果是否为零矩阵。

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问题 11

证明一个 $n\!\times \!n$ 矩阵的最小多项式的次数至多为 $n$（而不是从本节开头可以猜到的 $n^{2}$）。验证这个最大值 $n$ 可以发生。

回答

根据凯莱-哈密顿定理，最小多项式的次数小于或等于特征多项式的次数 $n$。[示例 1.12] 显示 $n$ 可能发生。

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问题 12

幂零映射的唯一特征值为零。证明逆命题成立。

回答

假设 $t$ 的唯一特征值为零。那么 $t$ 的特征多项式为 $x^{n}$。因为 $t$ 满足其特征多项式，因此它是一个幂零映射。

问题 13

零映射或矩阵的最小多项式是什么？单位映射或矩阵的最小多项式是什么？

回答

最小多项式必须具有首项系数为 $1$，因此如果映射或矩阵的最小多项式是零次多项式，那么它将是 $m(x)=1$。但单位映射或矩阵仅在平凡向量空间上等于零映射或矩阵。

因此，在非平凡情况下，最小多项式必须至少为一次。零映射或矩阵的最小多项式为 $m(x)=x$，单位映射或矩阵的最小多项式为 $m(x)=x-1$.

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问题 14

从几何角度解释[示例 1.2] 的最小多项式。

回答

这个多项式可以从几何意义上理解为：“一个$60^{\circ }$ 旋转减去两个$30^{\circ }$ 旋转等于恒等变换”。

问题 15

对角矩阵的最小多项式是什么？

回答

对于一个对角矩阵

$T={\begin{pmatrix}t_{1,1}&0\\0&t_{2,2}\\&&\ddots \\&&&t_{n,n}\end{pmatrix}}$

特征多项式为$(t_{1,1}-x)(t_{2,2}-x)\cdots (t_{n,n}-x)$。当然，这些因子中的一些可能重复，例如，矩阵可能具有$t_{1,1}=t_{2,2}$。例如，

$D={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

的特征多项式为$(3-x)^{2}(1-x)=-1\cdot (x-3)^{2}(x-1)$。

为了形成最小多项式，取$x-t_{i,i}$ 项，去掉重复项，并将它们相乘。例如，$D$ 的最小多项式为$(x-3)(x-1)$。为了验证这一点，首先注意到定理 1.8，凯莱-哈密顿定理，要求特征多项式中的每个线性因子至少在最小多项式中出现一次。检查另一个方向——在对角矩阵的情况下，每个线性因子最多只需要出现一次——的一种方法是使用矩阵论证。一个对角矩阵，从左边相乘，通过对角线上的元素缩放行。但是在产品中$(T-t_{1,1}I)\cdots$，即使没有重复因子，每行在至少一个因子中都为零。

例如，在产品中

$(D-3I)(D-1I)=(D-3I)(D-1I)I={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

因为第一个矩阵$D-3I$的第一行和第二行是零，整个乘积的第一行和第二行都将是零。因为中间矩阵$D-1I$的第三行是零，整个乘积的第三行也是零。

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问题 16

投影是指任何满足 $t^{2}=t$ 的变换 $t$。（例如，平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 上将每个向量投影到其第一个坐标的变换，如果执行两次，将与只执行一次得到的结果相同。）投影的最小多项式是什么？

回答

本小节从线性变换的幂不能无限增长而不“重复”的观察开始，也就是说，对于某个幂 $n$，存在一个线性关系 $c_{n}\cdot t^{n}+\dots +c_{1}\cdot t+c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$，其中 $z$ 是零变换。投影的定义是对于这种映射，一个线性关系是二次的，$t^{2}-t=z$。最后，我们只需要考虑这种关系是否可能不最小，也就是说，是否存在最小多项式是常数或线性的投影？

为了使最小多项式为常数，该映射必须满足 $c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$，其中 $c_{0}=1$，因为最小多项式的最高系数是 $1$。这只有在平凡空间上的零变换才能满足。这确实是一个投影，但不是一个非常有趣的投影。

如果变换的最小多项式是线性的，则有 $c_{1}\cdot t+c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$，其中 $c_{1}=1$。该方程给出了 $t=-c_{0}\cdot {\mbox{id}}$。结合要求 $t^{2}=t$ 给出了 $t^{2}=(-c_{0})^{2}\cdot {\mbox{id}}=-c_{0}\cdot {\mbox{id}}$，这意味着 $c_{0}=0$ 且 $t$ 是零变换，或者 $c_{0}=1$ 且 $t$ 是恒等变换。

因此，除了投影是零映射或恒等映射的情况外，最小多项式是 $m(x)=x^{2}-x$。

问题 17

这个问题的前两项是复习。

1. 证明一对一映射的复合映射是一对一的。
2. 证明如果一个线性映射不是一对一的，那么至少有一个非零向量从定义域映射到陪域中的零向量。
3. 验证在定理 1.8 之前引用的语句。

   ... 如果变换 $t$ 的最小多项式 $m(x)$ 可以分解为 $m(x)=(x-\lambda _{1})^{q_{1}}\cdots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$，则 $m(t)=(t-\lambda _{1})^{q_{1}}\circ \cdots \circ (t-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 是零映射。由于 $m(t)$ 将每个向量映射到零，所以至少有一个映射 $t-\lambda _{i}$ 将一些非零向量映射到零。... 换句话说 ...: 至少有一些 $\lambda _{i}$ 是特征值。

回答

1. 这是一种普遍的函数性质，不仅仅局限于线性函数。 假设 $f$ 和 $g$ 是单射函数，使得 $f\circ g$ 有定义。令 $f\circ g(x_{1})=f\circ g(x_{2})$，因此 $f(g(x_{1}))=f(g(x_{2}))$。因为 $f$ 是单射函数，这意味着 $g(x_{1})=g(x_{2})$。因为 $g$ 也是单射函数，这反过来又意味着 $x_{1}=x_{2}$。因此，总结一下，$f\circ g(x_{1})=f\circ g(x_{2})$ 意味着 $x_{1}=x_{2}$，因此 $f\circ g$ 是单射函数。
2. 如果线性映射 $h$ 不是一对一的，那么存在不等向量 ${\vec {v}}_{1}$，${\vec {v}}_{2}$ 映射到相同的值 $h({\vec {v}}_{1})=h({\vec {v}}_{2})$。因为 $h$ 是线性的，我们有 ${\vec {0}}=h({\vec {v}}_{1})-h({\vec {v}}_{2})=h({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})$，因此 ${\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ 是一个来自定义域的非零向量，它被 $h$ 映射到陪域的零向量 (${\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ 不等于定义域的零向量，因为 ${\vec {v}}_{1}$ 不等于 ${\vec {v}}_{2}$）。
3. 最小多项式 $m(t)$ 将域中的每个向量都映射到零向量，因此它不是一一映射的（除了我们忽略的平凡空间）。根据这个问题的第一项，由于复合 $m(t)$ 不是一一映射的，至少有一个分量 $t-\lambda _{i}$ 不是一一映射的。根据第二项，$t-\lambda _{i}$ 有一个非平凡的零空间。因为 $(t-\lambda _{i})({\vec {v}})={\vec {0}}$ 成立当且仅当 $t({\vec {v}})=\lambda _{i}\cdot {\vec {v}}$，前面的句子表明 $\lambda _{i}$ 是一个特征值（回想一下，特征值的定义要求该关系对至少一个非零向量 ${\vec {v}}$ 成立）。

问题 18

判断真伪：对于在一个 $n$ 维空间上的变换，如果最小多项式的次数为 $n$，则该映射是可对角化的。

回答

这是错误的。非可对角化变换的自然例子就适用在这里。考虑 $\mathbb {C} ^{2}$ 的变换，它相对于标准基表示为该矩阵。

$N={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

特征多项式是 $c(x)=x^{2}$。因此最小多项式要么是 $m_{1}(x)=x$，要么是 $m_{2}(x)=x^{2}$。第一个是不正确的，因为 $N-0\cdot I$ 不是零矩阵，因此在这个例子中，最小多项式的次数等于底层空间的维数，而且，正如我们所知道的，该矩阵不可对角化，因为它幂零。

问题 19

设 $f(x)$ 为多项式。证明如果 $A$ 和 $B$ 是相似矩阵，那么 $f(A)$ 与 $f(B)$ 相似。

1. 现在证明相似矩阵具有相同的特征多项式。
2. 证明相似矩阵具有相同的最小多项式。
3. 判断以下两个矩阵是否相似。

   ${\begin{pmatrix}1&3\\2&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}4&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

回答

设 $A$ 和 $B$ 是相似矩阵，即 $A=PBP^{-1}$。从以下事实中

$A^{n}=(PBP^{-1})^{n}=(PBP^{-1})(PBP^{-1})\cdots (PBP^{-1})$

$=PB(P^{-1}P)B(P^{-1}P)\cdots (P^{-1}P)BP^{-1}=PB^{n}P^{-1}$

和 $c\cdot A=c\cdot (PBP^{-1})=P(c\cdot B)P^{-1}$ 可以得到对于任何多项式函数 $f$ 都有 $f(A)=P\,f(B)\,P^{-1}$。例如，如果 $f(x)=x^{2}+2x+3$，那么

$A^{2}+2A+3I=(PBP^{-1})^{2}+2\cdot PBP^{-1}+3\cdot I$

$=(PBP^{-1})(PBP^{-1})+P(2B)P^{-1}+3\cdot PP^{-1}=P(B^{2}+2B+3I)P^{-1}$

表明 $f(A)$ 与 $f(B)$ 相似。

1. 令 $f$ 为一个线性多项式，则有 $A-xI$ 与 $B-xI$ 相似。 相似矩阵具有相同的行列式（因为 $\left|A\right|=\left|PBP^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|B\right|\cdot \left|P^{-1}\right|=1\cdot \left|B\right|\cdot 1=\left|B\right|$）。因此，特征多项式是相等的。
2. 由于 $P$ 和 $P^{-1}$ 是可逆的，$f(A)$ 当且仅当 $f(B)$ 为零矩阵时为零矩阵。
3. 它们不能相似，因为它们没有相同的特征多项式。第一个矩阵的特征多项式是 $x^{2}-4x-3$，而第二个矩阵的特征多项式是 $x^{2}-5x+5$。

问题 20

1. 证明一个矩阵可逆当且仅当其极小多项式的常数项不为 $0$。
2. 证明如果一个方阵 $T$ 不可逆，则存在一个非零矩阵 $S$ 使得 $ST$ 和 $TS$ 都等于零矩阵。

回答

假设 $m(x)=x^{n}+m_{n-1}x^{n-1}+\dots +m_{1}x+m_{0}$ 是 $T$ 的最小多项式。

1. 对于“if”参数，因为 $T^{n}+\dots +m_{1}T+m_{0}I$ 是零矩阵，我们有 $I=(T^{n}+\dots +m_{1}T)/(-m_{0})=T\cdot (T^{n-1}+\dots +m_{1}I)/(-m_{0})$ 因此矩阵 $(-1/m_{0})\cdot (T^{n-1}+\dots +m_{1}I)$ 是 $T$ 的逆矩阵。对于“only if”，假设 $m_{0}=0$（我们把 $n=1$ 的情况放在一边，但它很容易）因此 $T^{n}+\dots +m_{1}T=(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)T$ 是零矩阵。注意 $T^{n-1}+\dots +m_{1}I$ 不是零矩阵，因为最小多项式的次数是 $n$。如果 $T^{-1}$ 存在，那么将 $(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)T$ 和零矩阵从右边乘以 $T^{-1}$ 会导致矛盾。
2. 如果 $T$ 不可逆，那么它的最小多项式中的常数项为零。因此，

   $T^{n}+\dots +m_{1}T=(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)T=T(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)$

   是零矩阵。

此练习推荐给所有读者。

问题 21

1. 完成对 引理 1.7 的证明。
2. 举一个例子来说明，如果 $t$ 不是线性的，结果就不成立。

回答

1. 对于归纳步骤，假设 引理 1.7 对于度数为 $i,\ldots ,k-1$ 的多项式成立，并考虑一个度数为 $k$ 的多项式 $f(x)$。将 $f(x)=k(x-\lambda _{1})^{q_{1}}\cdots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 因式分解，并令 $k(x-\lambda _{1})^{q_{1}-1}\cdots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 为 $c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$。代入

   ${\begin{array}{rl}k(t-\lambda _{1})^{q_{1}}\circ \cdots \circ (t-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}({\vec {v}})&=(t-\lambda _{1})\circ (t-\lambda _{1})^{q_{1}}\circ \cdots \circ (t-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}({\vec {v}})\\&=(t-\lambda _{1})\,(c_{n-1}t^{n-1}({\vec {v}})+\cdots +c_{0}{\vec {v}})\\&=f(t)({\vec {v}})\end{array}}$

   (第二个等式由归纳假设得出，第三个等式由 $t$ 的线性性得出)。
2. 举个例子，考虑平方映射 $s:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$，它由 $s(x)=x^{2}$ 给出。它是非线性的。由多项式 $f(t)=t^{2}-1$ 定义的作用将 $s$ 变为 $f(s)=s^{2}-1$，这就是这个映射。

   $x{\stackrel {s^{2}-1}{\longmapsto }}s\circ s(x)-1=x^{4}-1$

   观察到这个映射不同于映射 $(s-1)\circ (s+1)$；例如，第一个映射将 $x=5$ 映射到 $624$，而第二个映射将 $x=5$ 映射到 $675$。

问题 22

任何变换或方阵都存在一个最小多项式。反过来是否成立？

回答

是的。展开最后一列以检查 $x^{n}+m_{n-1}x^{n-1}+\dots +m_{1}x+m_{0}$ 是这个行列式加上或减去符号。

${\begin{pmatrix}-x&0&0&&&m_{0}\\0&1-x&0&&&m_{1}\\0&0&1-x&&&m_{2}\\&&&\ddots \\&&&&1-x&m_{n-1}\end{pmatrix}}$

参考资料

• Cullen, Charles G. (1990), Matrices and Linear Transformations (Second ed.), Dover.