线性代数/商空间
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令 V 为域 F 上的向量空间，令 H 为子空间。定义一个等价关系，其中 V 中的x和y被称为等价，当且仅当x-y是 H 的元素。定义两个等价类 X 和 Y 的和为包含x+y的等价类，其中x在 X 中，y在 Y 中，以及标量倍数 aX，其中 a 是 F 的元素，为包含 ax的等价类，其中x在 X 中。
和是定义良好的，因为如果x1和x2在 X 中，y1和y2在 Y 中，那么x1+y1-(x2+y2)=(x1-x2)+(y1-y2)，它是 H 的元素，所以它们的和是等价的。
标量倍数也是定义良好的，因为如果x1和x2在 X 中，a 是 F 的元素，那么 ax1-ax2=a(x1-x2)，它是 H 的元素，所以它们是等价的。
给定等价类 X 和 Y，元素x在 X 中，y在 Y 中，z在 Z 中，元素a和b在 F 中，X+Y 和 Y+X 都包含x+y，因此是相同的，(X+Y)+Z 和 X+(Y+Z) 都包含x+y+z，因此是相同的，H 是加法的单位元，因为对于任何 h 在 H 中，(x+h)-x=h 在 H 中，所以 X+H=X，包含-x的等价类是 X 的逆元，1X 包含 1x=x，因此与 X 相同，a(bX) 和 (ab)X 都包含 abx，因此是相同的，(a+b)X 和 aX+bX 是相同的，因为它们都包含 ax+bx，a(X+Y) 和 aX+aY 是相同的，因为它们都包含 ax+ay。
上面一段表明，具有加法和标量乘法的等价类也形成一个向量空间，称为商空间。这个向量空间表示为 V/H。
如果 V 的维数为 d，H 的维数为 s，那么 V/H 的维数为 d-s。