线性代数/行等价

我们将通过证明每个矩阵都行等价于唯一一个简化行阶梯形式矩阵来结束本节和本章。这里出现的思想将在下一章中再次出现并得到进一步发展。

这里的基本主题是理解数学情况的一种方法是能够对可能发生的情况进行分类。我们已经多次遇到过这个主题。我们已经将线性方程组的解集分类为无元素、一个元素和无限多个元素的情况。我们还根据方程数量与未知量数量的比较，将线性方程组分类为非奇异和奇异的情况。我们采用这些分类，因为它们为我们提供了一种理解我们正在研究的情况的方法。在这里，我们正在研究行等价，我们知道所有矩阵的集合被分解为行等价类。当我们完成这里的证明时，我们将有办法理解每个类——它的矩阵可以被认为是从该类中唯一的简化行阶梯形式矩阵通过行操作得到的。

为了理解行操作如何将一个矩阵转换为另一个矩阵，我们考虑它们对矩阵各个部分的影响。关键的观察是，行操作以线性方式组合了行。

定义 2.1

的线性组合$x_{1},\ldots ,x_{m}$ 是以下形式的表达式$c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\,\cdots \,+c_{m}x_{m}$ 其中 $c$ 是标量。

（我们已经在这本书中使用过“线性组合”这个词。意思不变，但下一个结果的陈述为了更正式的定义。）

引理 2.2（线性组合引理）

线性组合的线性组合是一个线性组合。

证明

给出线性组合 $c_{1,1}x_{1}+\dots +c_{1,n}x_{n}$ 到 $c_{m,1}x_{1}+\dots +c_{m,n}x_{n}$，考虑这些组合的组合

$d_{1}(c_{1,1}x_{1}+\dots +c_{1,n}x_{n})\,+\dots +\,d_{m}(c_{m,1}x_{1}+\dots +c_{m,n}x_{n})$

其中 $d$ 是标量以及 $c$。分配那些 $d$ 并重新分组得到

$=(d_{1}c_{1,1}+\dots +d_{m}c_{m,1})x_{1}\,+\dots +\,(d_{1}c_{1,n}+\dots +d_{m}c_{m,n})x_{n}$

这是一个 $x$ 的线性组合。

在本小节中，我们将使用以下约定：如果矩阵用大写罗马字母命名，则匹配的小写希腊字母命名行。

$A={\begin{pmatrix}\cdots \alpha _{1}\cdots \\\cdots \alpha _{2}\cdots \\\vdots \\\cdots \alpha _{m}\cdots \end{pmatrix}}\qquad B={\begin{pmatrix}\cdots \beta _{1}\cdots \\\cdots \beta _{2}\cdots \\\vdots \\\cdots \beta _{m}\cdots \end{pmatrix}}$

推论 2.3

当一个矩阵化简为另一个矩阵时，第二个矩阵的每一行都是第一个矩阵的行的线性组合。

下面的证明使用归纳法，根据将一个矩阵化简为另一个矩阵所使用的行操作次数进行归纳。在我们继续之前，这里有一个论证的提纲（不熟悉归纳法的读者可以将这个论证与 "${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$" 证明中的论证进行比较）。 首先，对于论证的基本步骤，我们将验证当化简可以通过零次行操作完成时，命题是正确的。其次，对于归纳步骤，我们将论证，如果能够在某些次数$t\geq 0$的操作中将第一个矩阵化简为第二个矩阵，这意味着第二个矩阵的每一行都是第一个矩阵的行的线性组合，那么能够在$t+1$次操作中将第一个矩阵化简为第二个矩阵，也意味着同样的事情。综上所述，这个基本步骤和归纳步骤证明了这个结果，因为根据基本步骤，命题在零操作情况下是正确的，而根据归纳步骤，它在零操作情况下是正确的，这意味着它在一次操作情况下是正确的，并且再次应用归纳步骤表明它在两次操作情况下是正确的，等等。

证明

我们根据将第一个矩阵 $A$ 化简为第二个矩阵 $B$ 所需的最小行操作次数进行归纳。

在基本步骤中，零次化简操作就足够了，这两个矩阵相等，并且 $B$ 的每一行显然都是 $A$ 行的组合： ${\vec {\beta }}_{i}=0\cdot {\vec {\alpha }}_{1}+\dots +1\cdot {\vec {\alpha }}_{i}+\dots +0\cdot {\vec {\alpha }}_{m}$.

对于归纳步骤，假设归纳假设：当 $t\geq 0$ 时，如果一个矩阵可以通过 $A$ 在 $t$ 步或更少的运算中推导出，那么它的行是 $A$ 的行的线性组合。考虑一个矩阵 $B$，它需要 $t+1$ 步运算。因为运算次数大于零，所以必须存在一个倒数第二个矩阵 $G$ 使得 $A\longrightarrow \cdots \longrightarrow G\longrightarrow B$。这个 $G$ 距离 $A$ 只有 $t$ 步运算，因此归纳假设适用于它，也就是说，$G$ 的每一行都是 $A$ 的行的线性组合。

如果最后一步，从 $G$ 到 $B$ 的运算，是一个行交换，那么 $B$ 的行只是 $G$ 的行重新排序，因此 $B$ 的每一行也是 $A$ 的行的线性组合。另外两种可能的最后一步操作，即乘以一个行向量和一个标量，以及将一个行的倍数加到另一个行，都会导致 $B$ 的行是 $G$ 的行的线性组合。但是，根据线性组合引理，$B$ 的每一行都是 $A$ 的行的线性组合。

这样，我们就有了基本步骤和归纳步骤，因此命题成立。

示例 2.4

在降阶中

${\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

将矩阵称为 $A$，$D$，$G$，和 $B$。证明方法表明存在三组线性关系。

${\begin{aligned}\delta _{1}&=0\cdot \alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\delta _{2}&=1\cdot \alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{1}&=0\cdot \alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\gamma _{2}&=(1/2)\alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\beta _{1}&=(-1/2)\alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\beta _{2}&=(1/2)\alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}$

先前结果让我们认识到，高斯消元法通过对行进行线性组合来工作。但最终目的是什么？为什么要将线性系统转化为阶梯形，作为线性系统的简单或基本形式？答案是，阶梯形适合回代，因为我们已经将变量隔离了。例如，在以下矩阵中

$R={\begin{pmatrix}2&3&7&8&0&0\\0&0&1&5&1&1\\0&0&0&3&3&0\\0&0&0&0&2&1\end{pmatrix}}$

$x_{1}$ 已从 $x_{5}$ 的方程中移除。也就是说，高斯消元法已经使 $x_{5}$ 的行与 $x_{1}$ 的行线性无关。

下一章将精确定义并探讨行向量或任何类型向量的线性无关性。但我们可以初步理解，例如，上面的第三行不能由其他行线性表示，也就是说 $\rho _{3}\neq c_{1}\rho _{1}+c_{2}\rho _{2}+c_{4}\rho _{4}$。假设存在标量 $c_{1}$，$c_{2}$ 和 $c_{4}$ 使得该关系成立。

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}0&0&0&3&3&0\end{pmatrix}}&=c_{1}{\begin{pmatrix}2&3&7&8&0&0\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{2}{\begin{pmatrix}0&0&1&5&1&1\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{4}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&2&1\end{pmatrix}}\end{array}}$

第一行的首项位于第一列，如果我们只考虑第一列中的元素，则上述关系可以简化为 $0=2c_{1}+0c_{2}+0c_{4}$，由此可得 $c_{1}=0$。第二行的首项位于第三列，该列元素的方程 $0=7c_{1}+1c_{2}+0c_{4}$，以及我们已知 $c_{1}=0$，则可得 $c_{2}=0$。最后，第三行的首项位于第四列，该列元素的方程 $3=8c_{1}+5c_{2}+0c_{4}$，以及 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$，会得到一个不可能的结果。

以下结果表明这种效应始终成立。它表明高斯消元法消除的是行之间的线性关系。

引理 2.5

在阶梯形矩阵中，没有非零行是其他行的线性组合。

证明

设 $R$ 是阶梯形矩阵。假设，为了得到矛盾，某一非零行是其他行的线性组合。

$\rho _{i}=c_{1}\rho _{1}+\ldots +c_{i-1}\rho _{i-1}+c_{i+1}\rho _{i+1}+\ldots +c_{m}\rho _{m}$

我们首先用归纳法证明与 $\rho _{i}$ 以上的行相关的系数 $c_{1}$，...，$c_{i-1}$ 都为零。矛盾将来自考虑 $\rho _{i}$ 以及它下面的行。

归纳论证的基步是证明第一个系数 $c_{1}$ 为零。设第一行的首项位于第 $\ell _{1}$ 列，并考虑该列元素的方程。

$\rho _{i,\ell _{1}}=c_{1}\rho _{1,\ell _{1}}+\ldots +c_{i-1}\rho _{i-1,\ell _{1}}+c_{i+1}\rho _{i+1,\ell _{1}}+\ldots +c_{m}\rho _{m,\ell _{1}}$

矩阵处于阶梯形，因此条目 $\rho _{2,\ell _{1}}$，…，$\rho _{m,\ell _{1}}$，包括 $\rho _{i,\ell _{1}}$，都为零。

$0=c_{1}\rho _{1,\ell _{1}}+\dots +c_{i-1}\cdot 0+c_{i+1}\cdot 0+\dots +c_{m}\cdot 0$

由于条目 $\rho _{1,\ell _{1}}$ 不为零，因为它引领了其所在行，因此系数 $c_{1}$ 必须为零。

归纳步骤是要证明对于每个行索引 $k$ 在 $1$ 和 $i-2$ 之间，如果系数 $c_{1}$ 和系数 $c_{2}$，…，$c_{k}$ 都为零，那么 $c_{k+1}$ 也为零。该论证以及结束此证明的矛盾将在 问题 11 中给出。

现在我们可以证明每个矩阵都与一个且仅一个简化阶梯形矩阵行等价。我们发现将论证的前半部分作为初步引理分解起来很方便。一方面，它适用于任何阶梯形，而不仅仅是简化阶梯形。

引理 2.6

如果两个阶梯形矩阵行等价，则它们第一行的首项位于同一列。对于所有非零行来说也是如此——它们第二行的首项位于同一列，依此类推。

为了证明，我们将结果用更专业的术语重新表述。定义一个$m\!\times \!n$矩阵的**形式**为序列$\langle \ell _{1},\ell _{2},\ldots \,,\ell _{m}\rangle$，其中$\ell _{i}$是第$i$行首元所在的列号，如果该行没有首元，则$\ell _{i}=\infty$。引理指出，如果两个阶梯形矩阵行等价，那么它们的形是相等的序列。

证明

设$B$和$D$是行等价的阶梯形矩阵。由于它们行等价，所以它们的大小必须相同，假设为$m\!\times \!n$。设$B$的第$i$行首元所在的列号为$\ell _{i}$，设$D$的第$j$行首元所在的列号为$k_{j}$。我们将通过归纳法证明$\ell _{1}=k_{1}$，$\ell _{2}=k_{2}$，等等。

这个归纳论证依赖于矩阵行等价的事实，因为线性组合引理及其推论因此表明，$B$的每一行都是$D$的行的线性组合，反之亦然。

$\beta _{i}=s_{i,1}\delta _{1}+s_{i,2}\delta _{2}+\dots +s_{i,m}\delta _{m}\quad {\text{and}}\quad \delta _{j}=t_{j,1}\beta _{1}+t_{j,2}\beta _{2}+\dots +t_{j,m}\beta _{m}$

其中 $s$ 和 $t$ 是标量。

归纳法的基本步骤是验证引理对矩阵的第一行成立，即验证 $\ell _{1}=k_{1}$。如果任一行是零行，则由于该矩阵处于阶梯形，整个矩阵为零矩阵，因此两个矩阵均为零矩阵（根据推论 2.3），因此$\ell _{1}$ 和 $k_{1}$ 均为 $\infty$。对于$\beta _{1}$ 和 $\delta _{1}$ 均不是零行的情况，考虑上述线性关系的 $i=1$ 实例。

${\begin{array}{rl}\beta _{1}&=s_{1,1}\delta _{1}+s_{1,2}\delta _{2}+\dots +s_{1,m}\delta _{m}\\{\begin{pmatrix}0&\cdots &b_{1,\ell _{1}}&\cdots &\end{pmatrix}}&=s_{1,1}{\begin{pmatrix}0&\cdots &d_{1,k_{1}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad +s_{1,2}{\begin{pmatrix}0&\cdots &0&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\&\quad +s_{1,m}{\begin{pmatrix}0&\cdots &0&\cdots &\end{pmatrix}}\end{array}}$

首先，请注意 $\ell _{1}<k_{1}$ 是不可能的：在 $D$ 中第 $k_{1}$ 列左侧的所有列的元素都是零（因为 $d_{1,k_{1}}$ 是第一行的首项），因此如果 $\ell _{1}<k_{1}$，那么第 $\ell _{1}$ 列元素的方程将是 $b_{1,\ell _{1}}=s_{1,1}\cdot 0+\dots +s_{1,m}\cdot 0$，但是 $b_{1,\ell _{1}}$ 不为零，因为它位于其行的首项，因此这是不可能的。接下来，对称性论证表明 $k_{1}<\ell _{1}$ 也是不可能的。因此，$\ell _{1}=k_{1}$ 的基本情况成立。

归纳步骤是要证明如果 $\ell _{1}=k_{1}$，并且 $\ell _{2}=k_{2}$，…，并且 $\ell _{r}=k_{r}$，那么 $\ell _{r+1}=k_{r+1}$ 也是成立的（对于 $r$ 在区间 $1\,..\,m-1$ 内）。该论证保存在 问题 12 中。

这个引理回答了我们提出的两个问题：(i) 矩阵的任何两个阶梯形式版本具有相同的自由变量，因此，(ii) 任何两个阶梯形式版本具有相同的自由变量数量。不存在这样的线性系统或行操作组合，例如，我们可以用一种方式求解系统并得到 $y$ 和 $z$ 是自由变量，但用另一种方式求解系统，则得到 $y$ 和 $w$ 是自由变量，或者用一种方式求解系统，得到两个自由变量，而用另一种方式求解系统则得到三个自由变量。

现在，我们将重点关注简化阶梯形式矩阵的情况。

定理 2.7

每个矩阵都行等价于唯一的简化阶梯形式矩阵。

证明

显然，任何矩阵都行等价于至少一个简化阶梯形式矩阵，通过高斯-约旦消元法可以实现。对于另一半，即任何矩阵都等价于至多一个简化阶梯形式矩阵，我们将证明，如果一个矩阵通过高斯-约旦消元法可以简化为两个其他矩阵，则这两个矩阵相等。

假设一个矩阵行等价于两个简化阶梯形式矩阵 $B$ 和 $D$，因此它们彼此行等价。线性组合引理及其推论允许我们将一个矩阵的行（例如 $B$）写成另一个矩阵的行（$\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\cdots +c_{i,m}\delta _{m}$）的线性组合。初步结果，引理 2.6，指出在两个矩阵中，相同的行集为非零行。因此，如果 $\beta _{1}$ 到 $\beta _{r}$ 是 $B$ 的非零行，则 $D$ 的非零行为 $\delta _{1}$ 到 $\delta _{r}$。零行对总和没有贡献，因此我们可以改写关系，只包含非零行。

$\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\dots +c_{i,r}\delta _{r}\qquad (*)$

初步结果还表明，对于每一行 $j$ 在 $1$ 和 $r$ 之间，矩阵 $B$ 和 $D$ 第 $j$ 行的第一个元素出现在同一列，记为 $\ell _{j}$。将上述关系改写成关注第 $\ell _{j}$ 列的元素。

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}&\cdots &b_{i,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}&=c_{i,1}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{1,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{i,2}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{2,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\&\quad +c_{i,r}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{r,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\end{array}}$

给出了从 $i=1$ 到 $i=r$ 的方程组。

${\begin{array}{rl}b_{1,\ell _{j}}&=c_{1,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{1,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{1,r}d_{r,\ell _{j}}\\&\vdots \\b_{j,\ell _{j}}&=c_{j,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{j,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{j,r}d_{r,\ell _{j}}\\&\vdots \\b_{r,\ell _{j}}&=c_{r,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{r,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{r,r}d_{r,\ell _{j}}\end{array}}$

由于 $D$ 是简化行阶梯形式，所有 $d$ 在列 $\ell _{j}$ 中为零，除了 $d_{j,\ell _{j}}$，其值为 $1$。因此，上面每个方程简化为 $b_{i,\ell _{j}}=c_{i,j}d_{j,\ell _{j}}=c_{i,j}\cdot 1$。但 $B$ 也为简化行阶梯形式，因此所有 $b$ 在列 $\ell _{j}$ 中为零，除了 $b_{j,\ell _{j}}$，其值为 $1$。因此，每个 $c_{i,j}$ 为零，除了 $c_{1,1}=1$，$c_{2,2}=1$，...，以及 $c_{r,r}=1$。

我们已经证明，在标记为 ($*$) 的线性组合中，唯一非零系数是 $c_{j,j}$，其值为 $1$。因此 $\beta _{j}=\delta _{j}$。由于这对于所有非零行都成立，因此 $B=D$。

我们以回顾总结。在高斯消元法中，我们从一个矩阵开始，然后推导出一个其他矩阵的序列。我们将两个矩阵定义为相关，如果一个可以从另一个推导出。这种关系是一种等价关系，称为行等价，因此将所有矩阵集划分成行等价类。

(该类中存在无限多个矩阵，但我们只能显示两个。) 我们已经证明，每个行等价类中只有一个且仅有一个简化行阶梯形矩阵。 因此，简化行阶梯形矩阵是行等价的规范形式：简化行阶梯形矩阵是类的代表。

我们可以通过将问题转化为关于代表的问题来回答关于类的疑问。

示例 2.8

我们可以通过查看高斯-约旦消元法是否产生相同的简化行阶梯形结果来判断矩阵是否可以相互转化。因此，这些矩阵不等价

${\begin{pmatrix}1&-3\\-2&6\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&-3\\-2&5\end{pmatrix}}$

因为它们的简化行阶梯形矩阵不相等。

${\begin{pmatrix}1&-3\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

示例 2.9

任何非奇异 $3\!\times \!3$ 矩阵经高斯-约旦消元后会变为这样。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

示例 2.10

我们可以通过列出所有可能的简化行阶梯形矩阵来描述这些类。任何 $2\!\times \!2$ 矩阵都属于其中一个：与该矩阵行等价的矩阵类，

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

与以下类型之一行等价的矩阵的无限多个类

${\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix}}$

其中$a\in \mathbb {R}$ （包括$a=0$），与之行等价的矩阵类，

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

以及与之行等价的矩阵类

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

（这是非奇异$2\!\times \!2$ 矩阵的类）。

练习

建议所有读者完成此练习。

问题 1

确定矩阵是否行等价。

1. ${\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&1\\5&-1&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&10\\2&0&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\4&3&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&10\\\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&2&2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&2&5\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&2\\1&-1&1\end{pmatrix}}$

问题 2

描述示例 2.10 中每个类中所代表的矩阵。

问题 3

描述这些矩阵的行等价类中的所有矩阵。

1. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}}$

问题 4

有多少个行等价类？

问题 5

行等价类是否可以包含不同大小的矩阵？

问题 6

行等价类的规模有多大？

1. 证明任意零矩阵的类是有限的。
2. 是否有其他类只包含有限个成员？

建议所有读者完成此练习。

问题 7

给出两个行阶梯形矩阵，它们的主元素在同一列，但它们行不等价。

建议所有读者完成此练习。

问题 8

证明任意两个 $n\!\times \!n$ 非奇异矩阵行等价。任意两个奇异矩阵行等价吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 9

描述所有包含这些矩阵的行等价类。

1. $2\!\times \!2$ 矩阵
2. $2\!\times \!3$ 矩阵
3. $3\!\times \!2$ 矩阵
4. $3\!\times \!3$ 矩阵

问题 10

1. 证明向量 ${\vec {\beta }}_{0}$ 是集合 $\{{\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\}$ 中成员的线性组合，当且仅当存在线性关系 ${\vec {0}}=c_{0}{\vec {\beta }}_{0}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 其中 $c_{0}$ 不为零。（提示。 注意 ${\vec {\beta }}_{0}={\vec {0}}$ 的情况。）
2. 利用它简化 引理 2.5 的证明。

建议所有读者完成此练习。

问题 11

完成 引理 2.5 的证明。

1. 首先通过证明 $c_{2}=0$ 说明归纳步骤。
2. 进行完整的归纳步骤：当 $1\leq n<i-1$ 时，假设 $c_{k}=0$ 对于 $1<k<n$ 成立，并推导出 $c_{n+1}=0$ 也成立。
3. 找到矛盾之处。

问题 12

完成 引理 2.6 中的归纳论证。

1. 陈述归纳假设，并陈述从该假设中必须得出的结论。
2. 检查归纳假设是否意味着在关系 $\beta _{r+1}=s_{r+1,1}\delta _{1}+s_{r+2,2}\delta _{2}+\dots +s_{r+1,m}\delta _{m}$ 中，系数 $s_{r+1,1},\,\ldots \,,s_{r+1,r}$ 都为零。
3. 通过与基本情况类似的论证来完成归纳步骤，即 $\ell _{r+1}<k_{r+1}$ 和 $k_{r+1}<\ell _{r+1}$ 是不可能的。

问题 13

为什么在 定理 2.7 的证明中，我们特意限制在非零行上？为什么不直接使用我们最初的关系 $\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\dots +c_{i,m}\delta _{m}$，其中使用 $m$ 而不是 $r$，并利用它论证唯一非零系数是 $c_{i,i}$，它等于 $1$ 吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 14

三位卡车司机走进一家路边咖啡馆。一位卡车司机买了四份三明治、一杯咖啡和十个甜甜圈，共计 $$8.45$。另一位司机买了三份三明治、一杯咖啡和七个甜甜圈，共计 $$6.30$。第三位卡车司机为一份三明治、一杯咖啡和一个甜甜圈付了多少钱？ (Trono 1991)

问题 15

高斯消元法不允许用零乘以一行，这是证明简化行阶梯形唯一性的必要条件，否则每个矩阵都可以行等价于一个全零矩阵。这个条件在哪里使用？

建议所有读者完成此练习。

问题 16

线性组合引理说明哪些方程可以通过对给定线性系统进行高斯消元得到。

1. 写出一个不被该系统所蕴含的方程。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=&8\\2x&+&y&=&3\end{array}}$

2. 从一个不一致的系统中可以推导出任何方程吗？

问题 17

将行等价的定义扩展到线性系统。根据你的定义，等效系统是否具有相同的解集？（Hoffman & Kunze 1971）

建议所有读者完成此练习。

问题 18

在这个矩阵中

${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&0&3\\1&4&5\end{pmatrix}}$

第一列和第二列加起来等于第三列。

1. 证明在任何行操作下，这个性质仍然保持。
2. 做一个推测。
3. 证明这个推测是正确的。

解答

参考文献

• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear Algebra (第二版 ed.), Prentice Hall
• Trono, Tony (compilier) (1991), University of Vermont Mathematics Department High School Prize Examinations 1958-1991, mimeograhed printing