线性代数/行空间和列空间

我们已经讨论了向量空间，现在将基和维的概念与向量空间结合起来，并将之前应用的线性相关性和秩的概念结合起来。我们将把这些重要的概念应用于对 n 个变量的 m 个线性方程组的通解。

定义

假设我们有一个域 F 和一个 m×n 矩阵，其中元素属于 F，令 r 为该矩阵的秩。

将矩阵的列或行视为向量空间中的元素，其中加法和标量乘法已定义。可以很容易地验证它们构成一个向量空间。

令 M 为矩阵 F 的 r 阶子式。该子式称为基子式，该子式的列和行分别称为基列和基行。矩阵的列空间和行空间分别是矩阵的列和行所张成的向量空间。

定理

矩阵的列空间和行空间的维数都等于 r，即矩阵的秩，并且基列（或基行）构成列空间（或行空间）的基。

证明

令 𝐴 为一个 𝑚×𝑛 矩阵，秩为 𝑟。考虑一个 𝑚×𝑟 矩阵 𝐿，该矩阵由构成基（向量）的 𝐴 的 𝑟 列组成。根据 𝐿 的构造，𝐴 的每一列都可以写成 𝐿 的列的线性组合，即存在一个 𝑟×𝑛 矩阵 𝑍，使得 𝐴=𝐿𝑍。这意味着 𝐴 的每一行都可以写成 𝑍 的 𝑟 行的线性组合，即 𝐴 的行空间由 𝑍 的行张成。也就是说，𝐴 的行秩被 𝑟 上界。此外，𝐴^𝑇=𝑍^𝑇𝐿^𝑇。显然，𝑍^𝑇𝐿^𝑇 的值域包含在 𝑍^𝑇 的值域中。因此，𝐴^𝑇 的秩至多为 𝐴 的秩。此论证适用于任何矩阵。使用以上论证以及从 𝐴𝑇 开始的类似论证，我们得出结论，转置不会改变矩阵的秩。

推论

当 n>r 时，任何 n 列都是线性相关的。
当矩阵的列（或行）的数量大于秩时，它们是线性相关的；当矩阵的列（或行）的数量等于秩时，它们是线性无关的。
线性无关的行的最大数量等于线性无关的列的最大数量。