线性代数/集合的生成空间

定义

令 V 是域 F 上的向量空间。从向量空间 V 中选择 n 个向量 x₁、x₂、x₃、...、x_n。由 x₁、x₂、x₃、...、x_n 生成的线性流形定义为 V 中所有形式为 a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+...+a_nx_n 的元素，其中 a₁、a₂、a₃、...、a_n 都是域 F 的元素，并记为 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n)。这显然是向量空间 V 的线性子空间。由于 V 的每个线性子空间都包含 x₁、x₂、x₃、...、x_n 及其线性组合，因此 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 是包含 x₁、x₂、x₃、...、x_n 的最小子空间。

定理

如果 y₁、y₂、x_y、...、y_m 是 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 的元素，则 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 包含在 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 中。

证明

属于线性流形的向量的所有线性组合也属于线性流形（因为向量的线性组合的线性组合也是这些向量的线性组合），并且由于 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 的任何元素都是流形内向量的线性组合，它也属于该集合，因此证明了 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 包含在 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 中。

定理

如果 x 线性依赖于其他向量 x₁、x₂、x₃、...、x_n，则它也属于 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n)。

证明

x、x₁、x₂、x₃、...、x_n 都属于 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n)，则 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 必须包含在 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 中。因此，如果 x 线性依赖于 x₁、x₂、x₃、...、x_n，则 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 等于 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n)。

定理

一组向量中线性无关向量的最大数量等于该组向量生成空间的维数。

证明

假设 x₁、x₂、x₃、...、x_n 中有 d 个线性无关向量，所有其他向量都是这 d 个线性无关向量的线性组合。这个数字 d 是 x₁、x₂、x₃、...、x_n 中线性无关向量的最大数量。那么 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 的任何元素都必须是这 d 个线性无关向量的线性组合，因此它们构成一个基，因此 d 是 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 的维数，它等于 x₁、x₂、x₃、...、x_n 中线性无关向量的最大数量。