线性代数/子空间

假设 V 是一个在域 F 上的向量空间。向量空间 V 中的一个非空向量集 H 被定义为 V 的子空间，当

如果 u 和 v 是 H 的元素，那么 u+v 也必须是 H 的元素

如果 u 是 H 的元素，而 c 是 F 的元素，那么 cu 也是 H 的元素

其中 H 中的加法和标量乘法定义为与 V 中的加法和标量乘法相同，当所有涉及的向量都在 H 内。

任何向量空间的子空间也是一个向量空间，因为当 x、y 和 z 是 H 的元素，而 c 和 d 是 F 的元素时，显然成立：x+y=y+x 和 (x+y)+z=x+(y+z)，因为它们是 V 的元素，并且 1x=x，c(dx)=(cd)x，(a+b)x=ax+bx，a(x+y)=ax+ay，因为 x 和 y 是 V 的元素，并且根据第二个条件，对于每个 x，在集合中存在一个 0x，它就是单位元，所以它的单位元在子空间内，并且根据第二个条件，对于每个 x，存在一个 (-1)x，它就是它的逆元。因此，向量空间的所有子空间也是向量空间。

子空间的性质

如果一组向量在向量空间 V 的子空间 H 中，并且这些向量在 V 中线性无关，那么它们在 H 中也线性无关。这意味着 H 的维数小于或等于 V 的维数。

此外，对于子空间 H 中的每个基，在 V 中存在一个包含 H 的基的基。这来自之前证明的完备定理。

维数

向量空间 V 上的一组向量v₁、v₂、v₃、…、v_n 在域 F 上被称为在子空间 H 上线性无关，当对于域 F 中的元素 a₁、a₂、a₃、…、a_n，a₁v₁+a₂v₂+a₃v₃+...+a_nv_n 仅当 a₁、a₂、a₃、…、a_n 全部等于 0 时才是 H 的元素。在仅包含 0 向量的子空间上，线性无关显然与普通的线性无关相同。在 V 中，线性无关于 H 的最大向量数被定义为 V 相对于 H 的维数。

如果 V 中的一组向量 O 在 H 上线性无关，而一组向量 I 在 H 内线性无关，那么这两组向量的并集也是线性无关的。这是因为，如果这些向量存在线性组合，那么它只有当 O 中向量的线性组合是 I 中向量的线性组合的反向时才能等于 0，它也在 H 内，这意味着 O 中元素的系数都为 0，但也意味着 I 中的所有元素都为 0。

如果对于向量空间 V 的任何子空间 H，我们有一个 H 的基 B，以及包含 B 的 V 的基 C，那么 C-B 中的元素在 H 上线性无关，因为 H 中的任何元素都必须线性依赖于 B 中的元素（因为它是 H 的基），并且由于 C-B 中的元素都线性无关于 C-B 中的元素，所以它们的任何线性组合，其中不全是 0 系数，一定不是 H 的元素，从而证明它们在 H 上线性无关。因此，如果一个向量空间的维数是 d，而一个子空间的维数是 s，则该向量空间相对于该子空间的维数是 d-s。