线性代数/主题：计算的精度/解

解

问题 1

使用两位小数，将 $253$ 和 $2/3$ 相加。

答案

科学记数法便于表达两位小数的限制。我们有 $.25\times 10^{2}+.67\times 10^{0}=.25\times 10^{2}$ 。 $2/3$ 没有明显的影响。

问题 2

这个求直线交点的例子与上面讨论的例子形成对比。

$\displaystyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\3x&-&2y&=&1\end{array}}$

通过将底部方程中的常数改为 $1.008$ 并求解，说明在这个系统中，数字的微小变化只会对解产生微小的变化。将其与未更改系统的解进行比较。

答案

化简

{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\&&-8&=&-7.992\end{array}}

得到解 $(x,y)=(1.002,0.999)$ .

问题 3

用手解这个系统 (Rice 1993).

{\begin{array}{*{2}{rc}r}0.000\,3x&+&1.556y&=&1.569\\0.345\,4x&-&2.346y&=&1.018\end{array}}

精确地用手求解。
在每一步都舍入到四位有效数字的情况下求解。

答案

完全精确的解是 $x=10$ 和 $y=0$ .
四位有效数字的结论截然不同。
${\xrightarrow[{}]{-(.3454/.0003)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}.0003&1.556&1.569\\0&1789&-1805\end{array}}\right)\Longrightarrow x=10460,\,y=-1.009$

问题 4

计算机内部的舍入通常会影响结果。假设你的机器有八位有效数字。

证明机器会将 $(2/3)+((2/3)-(1/3))$ 计算为不等于 $((2/3)+(2/3))-(1/3)$ 。因此，计算机算术不具有结合性。
比较计算机版本的 $(1/3)x+y=0$ 和 $(2/3)x+2y=0$ 。第一个方程的两倍是否等于第二个方程？

答案

对于第一个方程，首先， $(2/3)-(1/3)$ 为 $.666\,666\,67-.333\,333\,33=.333\,333\,34$ ，所以 $(2/3)+((2/3)-(1/3))=.666\,666\,67+.333\,333\,34=1.000\,000\,0$ 。对于另一个，首先 $((2/3)+(2/3))=.666\,666\,67+.666\,666\,67=1.333\,333\,3$ ，所以 $((2/3)+(2/3))-(1/3)=1.333\,333\,3-.333\,333\,33=.999\,999\,97$ 。
第一个方程是 $.333\,333\,33\cdot x+1.000\,000\,0\cdot y=0$ ，而第二个方程是 $.666\,666\,67\cdot x+2.000\,000\,0\cdot y=0$ 。

问题 5

病态性不仅取决于系数矩阵。这个例子（Hamming 1971）表明它可以从系统左右两边的交互作用中产生。令 $\varepsilon$ 是一个小的实数。

{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&z&=&6\\2x&+&2\varepsilon y&+&2\varepsilon z&=&2+4\varepsilon \\x&+&2\varepsilon y&-&\varepsilon z&=&1+\varepsilon \end{array}}

通过手工计算解方程组。注意， $\varepsilon$ 可以被消去，仅仅是因为右边和左边的整数部分都完全抵消了。
通过手工计算解方程组，保留两位小数，并令 $\varepsilon =0.001$ .

答案

这个计算
${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&2&1&6\\0&-(4/3)+2\varepsilon &-(2/3)+2\varepsilon &-2+4\varepsilon \\0&-(2/3)+2\varepsilon &-(1/3)-\varepsilon &-1+\varepsilon \end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&2&1&6\\0&-(4/3)+2\varepsilon &-(2/3)+2\varepsilon &-2+4\varepsilon \\0&\varepsilon &-2\varepsilon &-\varepsilon \end{array}}\right)\end{array}}$
得到了第三个方程 $y-2z=-1$ 。将此代入第二个方程得到 $((-10/3)+6\varepsilon )\cdot z=(-10/3)+6\varepsilon$ ，所以 $z=1$ ，因此 $y=1$ 。有了这些，第一个方程就表明 $x=1$ .
保留两位小数的解
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\.10\times 10^{1}&.20\times 10^{-3}&.20\times 10^{-3}&.20\times 10^{1}\\.30\times 10^{1}&.20\times 10^{-3}&-.10\times 10^{-3}&.10\times 10^{1}\end{array}}\right)$
${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\0&-.13\times 10^{1}&-.67\times 10^{0}&-.20\times 10^{1}\\0&-.67\times 10^{0}&-.33\times 10^{0}&-.10\times 10^{1}\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-(.67/1.3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\0&-.13\times 10^{1}&-.67\times 10^{0}&-.20\times 10^{1}\\0&0&.15\times 10^{-2}&.31\times 10^{-2}\end{array}}\right)\end{aligned}}$
最后结果为 $z=2.1$ ， $y=2.6$ 和 $x=-.43$ .