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线性代数/主题:计算的精度/解

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问题 1

使用两位小数,将相加。

答案

科学记数法便于表达两位小数的限制。我们有没有明显的影响。

问题 2

这个求直线交点的例子与上面讨论的例子形成对比。

                

通过将底部方程中的常数改为并求解,说明在这个系统中,数字的微小变化只会对解产生微小的变化。将其与未更改系统的解进行比较。

答案

化简

得到解.

问题 3

用手解这个系统 (Rice 1993).

  1. 精确地用手求解。
  2. 在每一步都舍入到四位有效数字的情况下求解。
答案
  1. 完全精确的解是.
  2. 四位有效数字的结论截然不同。
问题 4

计算机内部的舍入通常会影响结果。假设你的机器有八位有效数字。

  1. 证明机器会将 计算为不等于 。因此,计算机算术不具有结合性。
  2. 比较计算机版本的 。第一个方程的两倍是否等于第二个方程?
答案
  1. 对于第一个方程,首先,,所以 。对于另一个,首先 ,所以
  2. 第一个方程是 ,而第二个方程是
问题 5

病态性不仅取决于系数矩阵。这个例子(Hamming 1971)表明它可以从系统左右两边的交互作用中产生。令 是一个小的实数。

  1. 通过手工计算解方程组。注意, 可以被消去,仅仅是因为右边和左边的整数部分都完全抵消了。
  2. 通过手工计算解方程组,保留两位小数,并令 .
答案
  1. 这个计算
    得到了第三个方程 。将此代入第二个方程得到 ,所以 ,因此 。有了这些,第一个方程就表明 .
  2. 保留两位小数的解
    最后结果为 .

参考文献

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  • Hamming, Richard W. (1971), 应用数值分析导论, Hemisphere Publishing.
  • Rice, John R. (1993), 数值方法、软件和分析, Academic Press.
华夏公益教科书