线性代数/主题：最佳拟合线/解决方案

解决方案

问题 1

使用最小二乘法判断这个实验中的硬币是否公平。

抛掷次数	8	16	24	32	40
正面次数	4	9	13	17	20

答案

与上面讨论的第一个示例一样，我们试图找到一个最佳的 $m$ 来“解决”此系统。

{\begin{array}{*{5}{rc}r}8m&=&4\\16m&=&9\\24m&=&13\\32m&=&17\\40m&=&20\end{array}}

投影到线性子空间给出

{\frac {{\begin{pmatrix}4\\9\\13\\17\\20\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}={\frac {1832}{3520}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}

所以最佳拟合线的斜率大约为 $0.52$ .

问题 2

对于男子英里纪录，我们并没有给出所有纪录及其确切日期，而是通过定期采样对数据进行了“平滑”处理。进行更长的计算并比较结论。

答案

有了这个输入

A={\begin{pmatrix}1&1852.71\\1&1858.88\\\vdots &\vdots \\1&1985.54\\1&1993.71\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}292.0\\285.0\\\vdots \\226.32\\224.39\end{pmatrix}}

(日期已四舍五入到月份，例如，对于 9 月的记录，小数 $.71\approx (8.5/12)$ 被使用)，Maple 响应的截距为 $b=994.8276974$ ，斜率为 $m=-0.3871993827$ .

问题 3

找到男子 $1500$ 米赛跑的最佳拟合线。斜率与男子英里的斜率相比如何？（距离很接近；一英里约为 $1609$ 米。）

答案

有了这个输入（年份以 $1900$ 为零）

A:={\begin{pmatrix}1&.38\\1&.54\\\vdots \vdots \\1&92.71\\1&95.54\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}249.0\\246.2\\\vdots \\208.86\\207.37\end{pmatrix}}

(例如，对于 9 月份的记录，小数 $.71\approx (8.5/12)$ 被使用），Maple 给出了截距 $b=243.1590327$ 和斜率 $m=-0.401647703$ 。本主题中针对男子英里赛的斜率非常接近这个值。

问题 4: 找到女子英里赛记录的最佳拟合直线。
答案

有了这个输入（年份以 $1900$ 为零）

A={\begin{pmatrix}1&21.46\\1&32.63\\\vdots &\vdots \\1&89.54\\1&96.63\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}373.2\\327.5\\\vdots \\255.61\\252.56\end{pmatrix}}

(例如，对于 9 月份的记录，小数 $.71\approx (8.5/12)$ 被使用），MAPLE 给出了截距 $b=378.7114894$ 和斜率 $m=-1.445753225$ .

问题 5

男子英里赛和女子英里赛的最佳拟合直线会相交吗？

答案

以下是男子和女子英里赛的直线方程（女子英里赛方程的纵轴截距项已从上面的答案中调整，以使其在年份 $0$ 为零，因为男子英里赛的方程就是这么做的）。

{\begin{array}{rl}y&=994.8276974-0.3871993827x\\y&=3125.6426-1.445753225x\end{array}}

显然，这两条线相交。使用计算机程序是最简单的计算方法：MuPAD 给出了 $x=2012.949004$ 和 $y=215.4150856$ ( $215$ 秒是 $3$ 分钟和 $35$ 秒)。注意：当然，所有这些预测都非常不可靠——一方面，女性的方程受到早期速度较慢的影响——但它仍然很有趣。

问题 6

1986 年，当挑战者号航天飞机爆炸时，人们对 NASA 的发射决定提出了批评，其中之一就是对 O 形环故障次数与温度之间关系的分析方式（当然，O 形环故障导致了爆炸）。四个 O 形环故障会导致火箭爆炸。NASA 有来自之前 24 次飞行的相关数据。

温度 (°F)	53	75	57	58	63	70	70	66	67	67	67
故障次数	3	2	1	1	1	1	1	0	0	0	0
温度 (°F)	68	69	70	70	72	73	75	76	76	78	79	80	81
故障次数	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

那天预报的温度是 $31^{\circ }{\text{F}}$ .

NASA 的发射决定部分基于一张图表，该图表仅显示至少发生一次 O 形环故障的飞行数据。找到最适合这七次飞行的直线。根据这些数据，预测当温度为 $31$ 时 O 形环故障次数，以及故障次数何时超过四次。
找到最适合所有 24 次飞行的直线。根据这些额外数据，预测当温度为 $31$ 时 O 形环故障次数，以及故障次数何时超过四次。

您认为哪种预测方法更准确？（Dalal, Folkes & Hoadley 1989）中有一个非常棒的讨论。

答案

像 MAPLE 或 MuPAD 这样的计算机代数系统会给出截距为 $b=4259/1398\approx 3.239628$ ，斜率为 $m=-71/2796\approx -0.025393419$ 。将 $x=31$ 代入方程，得到预测的 O 形环故障次数为 $y=2.45$ （四舍五入到两位小数）。代入 $y=4$ 并求解得到温度为 $x=-29.94^{\circ }$ F。
根据这些信息
$A={\begin{pmatrix}1&53\\1&75\\\vdots \\1&80\\1&81\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}3\\2\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}$
MAPLE 给出了截距 $b=187/40=4.675$ 和斜率 $m=-73/1200\approx -0.060833$ 。在此，将 $x=31$ 代入方程，预测 $y=2.79$ 个 O 型环故障（四舍五入到两位小数）。代入 $y=4$ 个故障，得到温度 $x=11^{\circ }$ F。

问题 7

此表列出了前七颗行星到太阳的平均距离，以地球的平均距离为单位。

水星	金星	地球	火星	木星	土星	天王星
0.39	0.72	1.00	1.52	5.20	9.54	19.2

绘制行星序号（水星为 $1$ ，等等）与距离的图。请注意，它看起来不像一条线，因此寻找最佳拟合线毫无意义。
然而，它看起来像一条指数曲线。因此，绘制行星序号与距离的对数的图。它看起来像一条线吗？
人们认为火星和木星之间的小行星带是一颗破碎行星的残骸。重新编号，使木星为 $6$ ，土星为 $7$ ，天王星为 $8$ ，并再次绘制与对数的图。它看起来更好吗？
使用最小二乘法对该数据进行预测海王星的位置。
重复以预测冥王星的位置。
该公式对于海王星和冥王星是否准确？

这种方法被用来帮助发现海王星（尽管第二项关于历史的描述具有误导性；实际上，发现位置 $9$ 的海王星促使人们在位置 $5$ 寻找“失踪的行星”。参见 (Gardner 1970)

答案

该图是非线性的。
这是该图。

在行星 $4$ 和行星 $5$ 之间可能有一个上跳。
这个图看起来更线性。
有了这个输入
$A={\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\\1&4\\1&6\\1&7\\1&8\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}-0.40893539\\-0.1426675\\0\\0.18184359\\0.71600334\\0.97954837\\1.2833012\end{pmatrix}}$
MuPAD 计算得出截距为 $b=-0.6780677466$ ，斜率为 $m=0.2372763818$ 。
将 $x=9$ 代入前一项的方程 $y=-0.6780677466+0.2372763818x$ ，得出距离的对数为 $1.4574197$ ，因此预期的距离为 $28.669472$ 。实际距离约为 $30.003$ 。
将 $x=10$ 代入同一个方程，得出距离的对数为 $1.6946961$ ，因此预期的距离为 $49.510362$ 。实际距离约为 $39.503$ 。

问题 8

威廉·贝内特为美国提出了一个领先文化指标指数 (贝内特 1993)。所引用的统计数据包括每天平均观看电视时间和平均 SAT 成绩。

	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1992
电视	5:06	5:29	5:56	6:07	6:36	7:07	6:55	7:04
SAT	975	969	948	910	890	906	900	899

假设在观看电视时间与 SAT 成绩下降之间存在因果关系（在这篇文章中，贝内特先生并未争论存在直接联系）。

找出将每天平均观看电视时间（自变量）与 SAT 成绩（因变量）联系起来的最佳拟合线。
找到最近的每天平均观看电视时间的估计值（贝内特引用尼尔森媒体研究作为这些估计值来源）。估计相关的 SAT 成绩。你的估计值与实际平均值有多接近？（警告：SAT 最近发生了一些变化，因此你应该调查是否需要对报告的平均值进行一些调整才能进行有效比较）。

答案

有了这个输入
$A={\begin{pmatrix}1&306\\1&329\\1&356\\1&367\\1&396\\1&427\\1&415\\1&424\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}975\\969\\948\\910\\890\\906\\900\\899\end{pmatrix}}$
MAPLE 计算得出截距 $b=34009779/28796\approx 1181.0591$ 和斜率 $m=-19561/28796\approx -0.6793$ 。

补充数据

以下是关于世界纪录的演变数据（摘自 Runner's World 网站）。

男子英里纪录的演变
时间	姓名	日期
4:52.0	马歇尔学员 (GBR)	02Sep52
4:45.0	托马斯·芬奇 (GBR)	03Nov58
4:40.0	杰拉德·萨曼 (GBR)	24Nov59
4:33.0	乔治·法兰 (IRL)	23May62
4:29 3/5	沃尔特·奇内里 (GBR)	10Mar68
4:28 4/5	威廉·吉布斯 (GBR)	03Apr68
4:28 3/5	查尔斯·冈顿 (GBR)	31Mar73
4:26.0	沃尔特·斯莱德 (GBR)	30May74
4:24 1/2	沃尔特·斯莱德 (GBR)	19Jun75
4:23 1/5	沃尔特·乔治 (GBR)	16Aug80
4:19 2/5	沃尔特·乔治 (GBR)	03Jun82
4:18 2/5	沃尔特·乔治 (GBR)	21Jun84
4:17 4/5	托马斯·康奈夫 (USA)	26Aug93
4:17.0	弗雷德·贝肯 (GBR)	06Jul95
4:15 3/5	托马斯·康奈夫 (USA)	28Aug95
4:15 2/5	约翰·保罗·琼斯 (USA)	27May11
4:14.4	约翰·保罗·琼斯 (USA)	31May13
4:12.6	诺曼·塔伯 (USA)	16Jul15
4:10.4	巴沃·努尔米 (FIN)	23Aug23
4:09 1/5	朱尔斯·拉杜梅格 (FRA)	04Oct31
4:07.6	杰克·洛弗洛克 (NZL)	15Jul33
4:06.8	格伦·坎宁安 (USA)	16Jun34
4:06.4	悉尼·伍德森 (GBR)	28Aug37
4:06.2	贡德·哈格 (SWE)	01Jul42
4:04.6	贡德·哈格 (SWE)	04Sep42
4:02.6	阿恩·安德森 (SWE)	01Jul43
4:01.6	阿恩·安德森 (SWE)	18Jul44
4:01.4	贡德·哈格 (SWE)	17Jul45
3:59.4	罗杰·班尼斯特 (GBR)	06May54
3:58.0	约翰·兰迪 (AUS)	21Jun54
3:57.2	德雷克·伊博特森 (GBR)	19Jul57
3:54.5	赫布·埃利奥特 (AUS)	06Aug58
3:54.4	彼得·斯奈尔 (NZL)	27Jan62
3:54.1	彼得·斯奈尔 (NZL)	17Nov64
3:53.6	米歇尔·雅齐 (FRA)	09Jun65
3:51.3	吉姆·瑞恩 (USA)	17Jul66
3:51.1	吉姆·瑞恩 (USA)	23Jun67
3:51.0	菲尔伯特·巴伊 (TAN)	17May75
3:49.4	约翰·沃克 (NZL)	12Aug75
3:49.0	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	17Jul79
3:48.8	史蒂夫·奥维特 (GBR)	01Jul80
3:48.53	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	19Aug81
3:48.40	史蒂夫·奥维特 (GBR)	26Aug81
3:47.33	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	28Aug81
3:46.32	史蒂夫·克莱姆 (GBR)	27Jul85
3:44.39	努雷丁·莫塞利 (ALG)	05Sep93
3:43.13	希尚·埃尔·格鲁伊 (MOR)	07Jul99

男子1500米纪录的进步
时间	姓名	日期
4:09.0	约翰·布雷 (USA)	30May00
4:06.2	查尔斯·贝内特 (GBR)	15Jul00
4:05.4	詹姆斯·莱特博迪 (USA)	03Sep04
3:59.8	哈罗德·威尔逊 (GBR)	30May08
3:59.2	亚伯·基维亚特 (USA)	26May12
3:56.8	亚伯·基维亚特 (USA)	02Jun12
3:55.8	亚伯·基维亚特 (USA)	08Jun12
3:55.0	诺曼·塔伯 (USA)	16Jul15
3:54.7	约翰·赞德 (SWE)	05Aug17
3:53.0	巴沃·努尔米 (FIN)	23Aug23
3:52.6	巴沃·努尔米 (FIN)	19Jun24
3:51.0	奥托·佩尔策 (GER)	11Sep26
3:49.2	朱尔斯·拉杜梅格 (FRA)	05Oct30
3:49.0	路易吉·贝卡利 (ITA)	17Sep33
3:48.8	威廉·邦特隆 (USA)	30Jun34
3:47.8	杰克·洛弗洛克 (NZL)	06Aug36
3:47.6	贡德·哈格 (SWE)	10Aug41
3:45.8	贡德·哈格 (SWE)	17Jul42
3:45.0	阿恩·安德森 (SWE)	17Aug43
3:43.0	贡德·哈格 (SWE)	07Jul44
3:42.8	韦斯·桑提 (USA)	04Jun54
3:41.8	约翰·兰迪 (AUS)	21Jun54
3:40.8	桑多·伊哈罗斯 (HUN)	28Jul55
3:40.6	伊斯特万·罗扎沃吉 (HUN)	03Aug56
3:40.2	奥拉维·萨尔索拉 (FIN)	11Jul57
3:38.1	斯塔尼斯拉夫·容维尔特 (CZE)	12Jul57
3:36.0	赫布·埃利奥特 (AUS)	28Aug58
3:35.6	赫布·埃利奥特 (AUS)	06Sep60
3:33.1	吉姆·瑞恩 (USA)	08Jul67
3:32.2	菲尔伯特·巴伊 (TAN)	02Feb74
3:32.1	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	15Aug79
3:31.36	史蒂夫·奥维特 (GBR)	27Aug80
3:31.24	悉尼·马里 (usa)	28Aug83
3:30.77	史蒂夫·奥维特 (GBR)	04Sep83
3:29.67	史蒂夫·克莱姆 (GBR)	16Jul85
3:29.46	萨伊德·阿威塔 (MOR)	23Aug85
3:28.86	努雷丁·莫塞利 (ALG)	06Sep92
3:27.37	努雷丁·莫塞利 (ALG)	12Jul95
3:26.00	希尚·埃尔·格鲁伊 (MOR)	14Jul98

女子英里纪录的进步
时间	姓名	日期
6:13.2	伊丽莎白·阿特金森 (GBR)	24Jun21
5:27.5	鲁思·克里斯马斯 (GBR)	20Aug32
5:24.0	格拉迪斯·伦 (GBR)	01Jun36
5:23.0	格拉迪斯·伦 (GBR)	18Jul36
5:20.8	格拉迪斯·伦 (GBR)	08May37
5:17.0	格拉迪斯·伦 (GBR)	07Aug37
5:15.3	伊芙琳·福斯特 (GBR)	22Jul39
5:11.0	安妮·奥利弗 (GBR)	14Jun52
5:09.8	埃尼德·哈丁 (GBR)	04Jul53
5:08.0	安妮·奥利弗 (GBR)	12Sep53
5:02.6	戴安·莱瑟 (GBR)	30Sep53
5:00.3	埃迪丝·特雷巴尔 (ROM)	01Nov53
5:00.2	戴安·莱瑟 (GBR)	26May54
4:59.6	戴安·莱瑟 (GBR)	29May54
4:50.8	戴安·莱瑟 (GBR)	24May55
4:45.0	戴安·莱瑟 (GBR)	21Sep55
4:41.4	玛丽斯·张伯伦 (NZL)	08Dec62
4:39.2	安妮·史密斯 (GBR)	13May67
4:37.0	安妮·史密斯 (GBR)	03Jun67
4:36.8	玛丽亚·戈默斯 (HOL)	14Jun69
4:35.3	艾伦·提特尔 (FRG)	20Aug71
4:34.9	格伦达·赖瑟 (CAN)	07Jul73
4:29.5	保拉·皮格尼-卡基 (ITA)	08Aug73
4:23.8	纳塔利娅·马拉塞斯库 (ROM)	21May77
4:22.1	纳塔利娅·马拉塞斯库 (ROM)	27Jan79
4:21.7	玛丽·德克尔 (USA)	26Jan80
4:20.89	柳德米拉·韦塞尔科娃 (SOV)	12Sep81
4:18.08	玛丽·德克尔-塔布 (USA)	09Jul82
4:17.44	马里奇卡·普伊卡 (ROM)	16Sep82
4:15.8	纳塔利娅·阿特约莫娃 (SOV)	05Aug84
4:16.71	玛丽·德克尔-斯莱尼 (USA)	21Aug85
4:15.61	保拉·伊万 (ROM)	10Jul89
4:12.56	斯维特拉娜·马斯特科娃 (RUS)	14Aug96

参考资料

Bennett, William (1993 年 3 月 15 日)，“量化美国的衰落”，《华尔街日报》{{citation}}: CS1 维护：日期和年份 (link)
Dalal, Siddhartha; Folkes, Edward; Hoadley, Bruce (1989 年秋季)，“从挑战者号中学到的教训：统计学视角”，《统计学学生杂志》，第 14-18 页{{citation}}: CS1 维护：日期和年份 (link)
Gardner, Martin (1970 年 4 月)，“数学游戏，太阳系中的一些数学奇闻”，《科学美国人》，第 108-112 页{{citation}}: CS1 维护：日期和年份 (link)