线性代数/主题：正交矩阵/解答

解答

问题 1

判断以下矩阵是否为正交矩阵。

1. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\\-1/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}&-{\sqrt {2}}/{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {2}}/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$

解答

1. 是。
2. 否，列向量长度不为1。
3. 是。

问题 2

写出以下每个距离保持变换的公式。

1. 绕 $\pi /6$ 弧度旋转，然后平移 ${\vec {e}}_{2}$ 的映射
2. 关于直线 $y=2x$ 的反射映射
3. 关于 $y=-2x$ 的反射，然后水平平移 $1$ 个单位，向上平移 $1$ 个单位的映射

解答

其中一些是非线性的，因为它们包含非平凡的平移。

1. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\cdot \cos(\pi /6)-y\cdot \sin(\pi /6)\\x\cdot \sin(\pi /6)+y\cdot \cos(\pi /6)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cdot ({\sqrt {3}}/2)-y\cdot (1/2)+0\\x\cdot (1/2)+y\cdot \cos({\sqrt {3}}/2)+1\end{pmatrix}}$
2. 直线 $y=2x$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\arctan(2/1)$。因此，$\sin \theta =2/{\sqrt {5}}$ 且 $\cos \theta =1/{\sqrt {5}}$。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\cdot (1/{\sqrt {5}})-y\cdot (2/{\sqrt {5}})\\x\cdot (2/{\sqrt {5}})+y\cdot (1/{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}$

3. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\cdot (1/{\sqrt {5}})-y\cdot (-2/{\sqrt {5}})\\x\cdot (-2/{\sqrt {5}})+y\cdot (1/{\sqrt {5}})\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/{\sqrt {5}}+2y/{\sqrt {5}}+1\\-2x/{\sqrt {5}}+y/{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}$

问题 3

1. 证明一个保持距离且将零向量映射到自身的映射，偶然地表明，这样的映射是一对一的且满射的（由 $d_{0}$、$d_{1}$ 和 $d_{2}$ 确定的域中的点，对应于由这三个点确定的陪域中的点）。因此，任何保持距离的映射都有一个逆映射。证明该逆映射也保持距离。
2. 证明平面图形之间的全等是一个等价关系。

解答

1. 令 $f$ 为距离保持函数，并考虑 $f^{-1}$。陪域中的任意两点可以写成 $f(P_{1})$ 和 $f(P_{2})$。因为 $f$ 是距离保持函数，$f(P_{1})$ 到 $f(P_{2})$ 的距离等于 $P_{1}$ 到 $P_{2}$ 的距离。但这正是 $f^{-1}$ 为距离保持函数所需要的。
2. 任何平面图形 $F$ 通过恒等映射 ${\mbox{id}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 与自身全等，这显然是距离保持的。如果 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 全等（通过一些 $f$），那么 $F_{2}$ 与 $F_{1}$ 通过 $f^{-1}$ 全等，根据前一项，它是距离保持的。最后，如果 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 全等（通过一些 $f$）并且 $F_{2}$ 与 $F_{3}$ 全等（通过一些 $g$），那么 $F_{1}$ 与 $F_{3}$ 通过 $g\circ f$ 全等，很容易检查到它是距离保持的。

问题 4

在实践中，距离保持线性变换的矩阵和平移通常合并为一个。检查这两个计算是否得出相同的前两个分量。

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}a&c&e\\b&d&f\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$

(这些是齐次坐标；参见射影几何主题)。

解答

每个的第一个和第二个分量是 $ax+cy+e$ 和 $bx+dy+f$.

问题 5

1. 验证本主题第二段中描述的那些在距离保持映射下保持不变的性质确实如此。
2. 再给出两个在欧几里得几何中具有重要意义的性质，这些性质也是在距离保持映射下保持不变的，这些性质来自于你学习欧几里得几何的经验。
3. 给出在欧几里得几何中不重要且在距离保持映射下不保持不变的性质。

解答

1. The Pythagorean Theorem gives that three points are colinear if and only if (for some ordering of them into $P_{1}$, $P_{2}$, and $P_{3}$), ${\text{dist}}\,(P_{1},P_{2})+{\text{dist}}\,(P_{2},P_{3})={\text{dist}}\,(P_{1},P_{3})$. Of course, where $f$ is distance-preserving, this holds if and only if ${\text{dist}}\,(f(P_{1}),f(P_{2}))+{\text{dist}}\,(f(P_{2}),f(P_{3}))={\text{dist}}\,(f(P_{1}),f(P_{3}))$, which, again by Pythagoras, is true if and only if $f(P_{1})$, $f(P_{2})$, and $f(P_{3})$ are colinear. The argument for betweeness is similar (above, $P_{2}$ is between $P_{1}$ and $P_{3}$). If the figure $F$ is a triangle then it is the union of three line segments $P_{1}P_{2}$, $P_{2}P_{3}$, and $P_{1}P_{3}$. The prior two paragraphs together show that the property of being a line segment is invariant. So $f(F)$ is the union of three line segments, and so is a triangle. A circle $C$ centered at $P$ and of radius $r$ is the set of all points $Q$ such that ${\text{dist}}\,(P,Q)=r$. Applying the distance-preserving map $f$ gives that the image $f(C)$ is the set of all $f(Q)$ subject to the condition that ${\text{dist}}\,(P,Q)=r$. Since ${\text{dist}}\,(P,Q)={\text{dist}}\,(f(P),f(Q))$, the set $f(C)$ is also a circle, with center $f(P)$ and radius $r$.
2. 这里有两个很容易验证的性质：（i）是直角三角形的性质，以及（ii）两条直线平行的性质。
3. 在本节中提到的另一个性质是图形的“方向”。顶点按 $P_{1}$、$P_{2}$、$P_{3}$ 顺时针排列的三角形，在距离保持映射下，可能被映射到一个顶点按 $P_{1}$、$P_{2}$、$P_{3}$ 逆时针排列的三角形。