线性代数/主题：稳定种群

线性代数
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想象一个保护区，里面有我们试图保护的物种的动物。公园没有围栏，所以动物可以跨越边界，从内部出来，也可以从外部进入。每年，10% 的公园内的动物会离开，1% 的公园外的动物会找到进入公园的方式。我们可以问，我们是否可以找到这个公园的稳定种群水平：是否存在一个种群，一旦建立，就会随着时间的推移保持不变，离开的动物数量等于进入的动物数量？

为了回答这个问题，我们必须首先建立方程式。设第 $n$ 年公园内的种群为 $p_{n}$ ，世界其他地方的种群为 $r_{n}$ 。

{\begin{array}{rl}p_{n+1}&=.90p_{n}+.01r_{n}\\r_{n+1}&=.10p_{n}+.99r_{n}\end{array}}

我们可以将此系统设置为矩阵方程（参见马尔可夫链主题）。

{\begin{pmatrix}p_{n+1}\\r_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}.90&.01\\.10&.99\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{n}\\r_{n}\end{pmatrix}}

现在，“稳定水平”意味着 $p_{n+1}=p_{n}$ 且 $r_{n+1}=r_{n}$ ，因此矩阵方程 ${\vec {v}}_{n+1}=T{\vec {v}}_{n}$ 变为 ${\vec {v}}=T{\vec {v}}$ 。因此，我们正在寻找与特征值 $1$ 相关的 $T$ 的特征向量。方程式 $(I-T){\vec {v}}={\vec {0}}$ 是

{\begin{pmatrix}.10&-.01\\-.10&.01\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

这得出了特征空间：满足限制条件 $p=.1r$ 的向量。加上其他信息，该物种的全球总人口是 $p+r=110\,000$ ，我们发现稳定状态是 $p=10,000$ 和 $r=100,000$ 。

如果我们从一个拥有 10,000 只动物的公园人口开始，这样世界上其他地方就有 100,000 只动物，那么每年 10%（1,000 只动物）的公园内动物会离开公园，而每年 1%（1,000 只）的世界上其他地方的动物会进入公园。它是稳定的，自维持的。

现在想象一下，我们正在尝试逐渐增加该物种的全球总人口。例如，我们可以尝试让全球人口以每年 1% 的速度增长。在这种情况下，我们可以将公园人口的“稳定”状态定义为它也以每年 1% 的速度增长。方程式 ${\vec {v}}_{n+1}=1.01\cdot {\vec {v}}_{n}=T{\vec {v}}_{n}$ 将导致 $((1.01\cdot I)-T){\vec {v}}={\vec {0}}$ ，这给出了这个系统。

{\begin{pmatrix}.11&-.01\\-.10&.02\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

该矩阵是非奇异的，因此唯一解是 $p=0$ 和 $r=0$ 。因此，没有（可用的）初始种群我们可以建立在公园里，并期望它能与世界其他地方以相同的速度增长。

既然知道每年 1% 的全球人口增长率会导致公园种群不稳定，我们可以问哪些增长率可以允许公园的初始种群自维持。我们考虑 $\lambda {\vec {v}}=T{\vec {v}}$ 并求解 $\lambda$ 。

0={\begin{vmatrix}\lambda -.9&-.01\\-.10&\lambda -.99\end{vmatrix}}=(\lambda -.9)(\lambda -.99)-(.10)(.01)=\lambda ^{2}-1.89\lambda +.89

对该二次方程进行因式分解的一个捷径是，我们知道 $\lambda =1$ 是 $T$ 的一个特征值，因此另一个特征值是 $.89$ 。因此，有两种方法可以使公园人口保持稳定（即，尽管公园边界存在泄漏，但人口增长速度与世界其他地区人口相同）：一种是世界人口不增长也不减少，另一种是世界人口每年减少 11%。

所以，这是特征值和特征向量的一种含义——它们为系统提供了稳定的状态。如果特征值为 $1$ ，则系统是静态的。如果特征值不为 $1$ ，则系统要么增长要么减少，但以动态稳定的方式。

练习

问题 1

如果允许世界人口每年减少 11%，那么上述公园应该建立什么样的初始人口？

问题 2

如果世界人口每年增长 1%，公园人口会发生什么？会落后于世界增长，还是领先于世界增长？假设公园人口为一万，世界人口为十万，并计算十年时间跨度内的变化。

问题 3

上述公园部分围栏，现在每年只有 5% 的动物从公园内离开（仍然大约有 1% 的动物从公园外进入）。在什么条件下公园现在可以维持稳定的人口？

问题 4

假设一种鸟类只生活在加拿大、美国或墨西哥。每年有 4% 的加拿大鸟类迁徙到美国，1% 的加拿大鸟类迁徙到墨西哥。每年有 6% 的美国鸟类迁徙到加拿大，4% 的美国鸟类迁徙到墨西哥。从墨西哥每年有 10% 的鸟类迁徙到美国，0% 的鸟类迁徙到加拿大。

给出转移矩阵。
这三个国家有没有可能保持人口稳定？
找出所有稳定的情况。

解决方案

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