线性代数/主题：幂法/解

解

问题 1

从具有$1$ 和 $2$ 分量的向量开始，使用十次迭代来估计这些矩阵的最大特征值。将结果与通过求解特征方程得到的特征值进行比较。

1. ${\begin{pmatrix}1&5\\0&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}}$

答案

1. 最大特征值为 $4$.
2. 最大特征值为 $2$.

问题 2

通过迭代直到 $|{\vec {v}}_{k}|-|{\vec {v}}_{k-1}|$ 的绝对值小于 $0.01$ 来重新执行前面的练习。在每一步，通过向量长度除以每个向量来归一化。需要多少次迭代？答案是否显着不同？

问题 3

从具有 $1$，$2$ 和 $3$ 分量的向量开始，使用十次迭代来估计这些矩阵的最大特征值。将结果与通过求解特征方程得到的特征值进行比较。

1. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\-2&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&2&2\\-3&-6&-6\end{pmatrix}}$

答案

1. 最大特征值为 $3$.
2. 最大特征值为 $-3$.

问题 4

通过迭代直到 $|{\vec {v}}_{k}|-|{\vec {v}}_{k-1}|$ 的绝对值小于 $0.01$ 来重做前面的练习。在每一步中，通过将每个向量除以它的长度来进行归一化。需要多少次迭代？答案有显著不同吗？

问题 5

如果 $c_{1}=0$ 会发生什么？也就是说，如果初始向量在相关特征向量方向上没有分量，会发生什么？

答案

理论上，这种方法会产生 $\lambda _{2}$。然而，在实践中，计算中的舍入误差会在 ${\vec {v}}_{1}$ 方向上引入分量，因此该方法仍然会产生 $\lambda _{1}$，尽管可能比使用更幸运的初始向量选择的迭代次数要多一些。

问题 6

如何采用幂法来寻找最小特征值？

答案

不要使用 ${\vec {v}}_{k}=T{\vec {v}}_{k-1}$，而是使用 $T^{-1}{\vec {v}}_{k}={\vec {v}}_{k-1}$。