线性代数/酉矩阵和厄米矩阵

酉矩阵

值得关注的是“等距”的线性映射，也称为“距离保持映射”。这种映射也称为“等距”。让 $u:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 表示任意等距线性映射。回想一下，在关于 正交矩阵 的章节中，任何将 ${\vec {0}}$ 映射到 ${\vec {0}}$ 的等距映射是线性的。

等距的距离保持性质也意味着角度被保留。如果 ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {C} ^{n}$ 是任意向量，则点积在等距变换下保持不变： $u({\vec {a}})\cdot u({\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$.

的标准基向量 $\mathbb {C} ^{n}$，${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}$，都是单位长度，并且彼此正交：${\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}=\left\{{\begin{array}{cc}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}}\right.$

如果 $U={\text{Rep}}(u)={\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&\dots &{\vec {u}}_{n}\\\end{pmatrix}}$ 是描述等距线性映射 $u$ 的矩阵，那么列 ${\vec {u}}_{i}=u({\vec {e}}_{i})$ 也都是单位长度并且互相正交：${\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {u}}_{j}=\left\{{\begin{array}{cc}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}}\right.$

矩阵的“厄米特转置”是矩阵的转置，并对复数进行共轭操作

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,m}\\\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}a_{1,1}^{*}&a_{2,1}^{*}&\dots &a_{n,1}^{*}\\a_{1,2}^{*}&a_{2,2}^{*}&\dots &a_{n,2}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,m}^{*}&a_{2,m}^{*}&\dots &a_{n,m}^{*}\\\end{pmatrix}}$

矩阵 $U$ 的列向量正交归一的性质意味着矩阵 $U$ 的逆矩阵就是它的共轭转置矩阵: $U^{-1}=U^{H}$。任何逆矩阵等于其共轭转置矩阵的矩阵被称为“酉矩阵”。酉矩阵 $U$ 的关键性质是矩阵 $U$ 是方阵，且 $U^{H}U=UU^{H}=I$（注意 $I={\text{Rep}}({\text{id}})$ 是单位矩阵）。酉矩阵表示等距线性映射。

厄米特矩阵

给定一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，类似于矩阵 $A$ 是对称矩阵，当 $A^{T}=A$ 时，矩阵 $A$ 是厄米特矩阵，当 $A^{H}=A$ 时，意味着 $A$ 中对角线相对的元素互为复共轭。

例如，$A={\begin{pmatrix}4&6i\\6i&5\end{pmatrix}}$ 是对称矩阵但不是厄米特矩阵，而 $A={\begin{pmatrix}4&6i\\-6i&5\end{pmatrix}}$ 是厄米特矩阵但不是对称矩阵。

二次型

给定一个方阵$n\times n$ $A$，其中所有元素都是实数，函数$Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ 是${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 元素的二次函数，被称为“二次型”。二次型中所有项的次数都是 2。例如，给定二次型$Q(x_{1},x_{2})=4x_{1}^{2}-7x_{1}x_{2}+5x_{2}^{2}$，$Q(x_{1},x_{2})$ 可以表示为

$Q{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-7\\0&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}$

或

$Q{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-3.5\\-3.5&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}$

项 $x_{i}x_{j}$ 的系数，对于 $i\neq j$，是 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 项的和。然后，将 $x_{i}x_{j}$ 的系数在 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 项之间进行分配，实质上要求 $A$ 是对称的：$A^{T}=A$.

推广到复数，考虑二次型 $Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}$，其中 ${\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ 是任意的。要求 $A$ 是厄米特的，类似于在实数情况下要求 $A$ 是对称的。 $Q({\vec {x}})$ 总是返回一个实数，如果 $A$ 是厄米特的。

定理

如果 $A$ 是厄米特的，那么二次型 $Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}$ 总是返回一个实数。

证明

$\forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}\in \mathbb {R} \iff \forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}=({\vec {x}}^{H}A{\vec {x}})^{*}\iff \forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}={\vec {x}}^{H}A^{H}{\vec {x}}$

由于 $A^{H}=A$ 是厄米特矩阵，所以 $Q({\vec {x}})$ 总是返回一个实数。