线性代数/向量空间

第一章首先介绍了高斯方法，并通过对线性组合引理的理解，最终解释了高斯方法如何找到线性方程组的解集。高斯方法系统地对行进行线性组合。有了这些见解，我们现在将转向对线性组合的一般研究。

我们需要一个研究的背景。在第一章中，我们有时会将向量从$\mathbb {R} ^{2}$ 组合起来，有时从$\mathbb {R} ^{3}$ 组合起来，有时甚至从更高维的空间组合起来。因此，我们最初的冲动可能是要在$\mathbb {R} ^{n}$ 中工作，将$n$ 保持未指定。这样做的优点是，任何结果都适用于$\mathbb {R} ^{2}$ 和$\mathbb {R} ^{3}$ 以及许多其他空间，同时适用于。

但是，如果结果适用于许多空间是一件好事，那么仅仅局限于$\mathbb {R} ^{n}$ 的集合，则过于限制了。我们希望结果也适用于行向量的组合，就像第一章的最后一节中一样。我们甚至看到了一些空间，它们不仅仅是所有相同大小的列向量或行向量的集合。例如，我们看到了齐次方程组的解集是一个平面，它位于$\mathbb {R} ^{3}$ 内部。这个解集是一个封闭的系统，因为这些解的线性组合也是一个解。但它不仅仅是所有三维列向量的集合；只有一部分列向量在这个解集中。

我们希望关于线性组合的结果适用于任何可以进行线性组合的地方。我们将任何这样的集合称为**向量空间**。我们的结果，而不是被表述为“只要我们有一个可以合理地进行线性组合的集合……”，而是将被表述为“在任何向量空间中……”。

这样的表述一次性描述了在许多空间中发生的事情。从一次研究一个空间到研究一类空间的抽象程度的提升可能很难。要理解它的优势，可以考虑这个比喻。想象一下政府一次制定一个人的法律：“莱斯利·琼斯不能乱穿马路。”这是一个糟糕的主意；当语句同时适用于许多情况时，它具有简洁的优点。或者，假设他们规定：“金·科在经过事故现场时必须停车。”与“任何医生在经过事故现场时必须停车”形成对比。更一般的语句，在某种程度上，更清晰。