线性代数/向量空间和线性系统/解

解

问题 1

转置每个。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&4&3\\6&7&8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}-1&-2\end{pmatrix}}$

答案

1. ${\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&6\\4&7\\3&8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

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问题 2

确定向量是否在矩阵的行空间内。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&3\\-1&0&1\\-1&2&7\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$

答案

1. 是的。要查看是否存在$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得 $c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}$，我们求解

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&3c_{2}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&=&0\end{array}}$

   并得到$c_{1}=-1$ 和 $c_{2}=1$。因此，该向量在行空间内。
2. 否。等式 $c_{1}{\begin{pmatrix}0&1&3\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}-1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$ 无解。

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}0&-1&-1&1\\1&0&2&1\\3&1&7&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&2&1\\0&-1&-1&1\\0&0&0&-1\end{array}}\right)$

   因此，该向量不在行空间内。

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问题 3

判断该向量是否在列空间内。

1. ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&3&1\\2&0&4\\1&-3&-3\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. 不。为了查看是否具有 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 使得

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$

   我们可以使用高斯消元法来求解所得线性方程组。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&=&3\end{array}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&1\\&&0&=&2\end{array}}$

   不存在解，因此该向量不在列空间中。
2. 是。从这种关系

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   我们得到一个线性方程组，对其应用高斯消元法后，

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&3&1&1\\2&0&4&0\\1&-3&-3&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&3&1&1\\0&-6&2&-2\\0&0&-6&1\end{array}}\right)$

   可得出解。因此，该向量位于列空间中。

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问题 4

求该矩阵的行空间的一组基。

${\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\3&1&0&2\\1&0&-4&-1\end{pmatrix}}$

答案

使用高斯消元法

${\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\3&1&0&2\\1&0&-4&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{4}}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{4}}}{\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\0&0&-11/2&-3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

表明该矩阵的基为 $\langle {\begin{pmatrix}2&0&3&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&-11/2&-3\end{pmatrix}}\rangle$.

另一种或许更方便的操作是先交换行

${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{4}}}\;{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{4}}]{-3\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{4}}}{\begin{pmatrix}1&0&-4&-1\\0&1&1&-1\\0&0&11&6\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

得到基为 $\langle {\begin{pmatrix}1&0&-4&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&11&6\end{pmatrix}}\rangle$.

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问题 5

求每个矩阵的秩。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&3\\1&-1&2\\1&0&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-3&6\\-2&2&-4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3&2\\5&1&1\\6&4&3\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

答案

1. 此简化过程

   ${\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-3/2&1/2\\0&0&4/3\end{pmatrix}}$

   表明行秩，因此秩为3。
2. 观察列可以发现，其他列都是第一列的倍数（观察行也能得出相同结论）。因此秩为1。或者，简化过程

   ${\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-3&6\\-2&2&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   也表明了相同结论。
3. 此计算

   ${\begin{pmatrix}1&3&2\\5&1&1\\6&4&3\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-6\rho _{1}+\rho _{3}}]{-5\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&3&2\\0&-14&-9\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   表明秩为2。
4. 秩为0。

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问题6

为每个集合的生成空间找到一个基。

1. $\{{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{1\!\times \!2}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
3. $\{1+x,1-x^{2},3+2x-x^{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}_{3}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1&0&1\\3&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0&-5\\-1&-1&-9\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{2\!\times \!3}$

答案

1. 此简化过程

   ${\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\\1&4\\2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -2\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}{\xrightarrow[{(5/6)\rho _{2}+\rho _{4}}]{-(1/6)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&3\\0&6\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   给出 $\langle {\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&6\end{pmatrix}}\rangle$.
2. 转置并简化

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&-1\\1&-3&-3\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-5&-4\\0&-5&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-5&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   然后将转置回来得到这个基底。

   $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-5\\-4\end{pmatrix}}\rangle$

3. 首先注意到周围的空间被给出为 ${\mathcal {P}}_{3}$，而不是 ${\mathcal {P}}_{2}$。然后，将第一个多项式 $1+1\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}$ 视为与行向量 ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}}$ "相同"，等等，导致

   ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&0&-1&0\\3&2&-1&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&-1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   这将产生基底$\langle 1+x,-x-x^{2}\rangle$.
4. 这里“相同”给出

   ${\begin{pmatrix}1&0&1&3&1&-1\\1&0&3&2&1&4\\-1&0&-5&-1&-1&-9\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&1&3&1&-1\\0&0&2&-1&0&5\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   导致这个基底。

   $\langle {\begin{pmatrix}1&0&1\\3&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&2\\-1&0&5\end{pmatrix}}\rangle$

问题 7

哪些矩阵的秩为零？秩为一？

答案

只有零矩阵的秩为零。秩为一的矩阵只有以下形式

${\begin{pmatrix}k_{1}\cdot \rho \\\vdots \\k_{m}\cdot \rho \end{pmatrix}}$

其中$\rho$ 是一个非零行向量，并且不是所有的$k_{i}$ 都为零。（备注：我们不能简单地说所有行都是第一行的倍数，因为第一行可能是零行。另一个备注：上面的结论同样适用于用“列”替换“行”。）

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问题 8

给定$a,b,c\in \mathbb {R}$，如何选择$d$ 使该矩阵的秩为一？

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

答案

如果 $a\neq 0$，那么选择 $d=(c/a)b$ 将使第二行成为第一行的倍数，具体来说，是第一行的 $c/a$ 倍。如果 $a=0$ 且 $b=0$，那么任何非 $0$ 的 $d$ 选择将确保第二行非零。如果 $a=0$ 且 $b\neq 0$ 且 $c=0$，那么任何 $d$ 的选择都可以，因为矩阵将自动具有秩一（即使选择 $d=0$）。最后，如果 $a=0$ 且 $b\neq 0$ 且 $c\neq 0$，那么任何 $d$ 的选择都不够，因为矩阵肯定具有秩二。

问题 9

求该矩阵的列秩。

${\begin{pmatrix}1&3&-1&5&0&4\\2&0&1&0&4&1\end{pmatrix}}$

答案

该矩阵的列秩为二。通过观察可以看出，列空间由两行高的列组成，因此可以具有至少为二的维数，并且我们可以很容易地找到两个一起构成线性无关集的列（例如，第四列和第五列）。另一种方法是回想一下列秩等于行秩，并执行高斯消元法，这将留下两行非零行。

问题 10

证明一个至少有一个解的线性方程组当且仅当系数矩阵的秩等于其列数时，该方程组至多只有一个解。

答案

我们应用定理 3.13。线性系统系数矩阵$A$的列数等于未知数的个数$n$。当且仅当相关联的齐次系统的解空间的维数为零时，至少有一个解的线性系统最多只有一个解（回忆：“${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$"方程${\vec {v}}={\vec {p}}+{\vec {h}}$，前提是存在这样一个${\vec {p}}$，解${\vec {v}}$是唯一的当且仅当向量${\vec {h}}$是唯一的，即${\vec {h}}={\vec {0}}$）。但根据定理，这意味着$n=r$。

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问题 11

如果矩阵是$5\!\times \!9$，哪一组必须是线性相关的，是它的行集还是它的列集？

答案

列集必须是线性相关的，因为矩阵的秩最多为 5，而有 9 列。

问题 12

举一个例子说明，尽管具有相同的维数，但矩阵的行空间和列空间不一定相等。它们何时相等？

答案

它们几乎不可能相等，因为行空间是行向量的集合，而列空间是列向量的集合（除非矩阵是$1\!\times \!1$，在这种情况下，这两个空间必须相等）。

备注。 考虑

$A={\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}$

并注意，行空间是${\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}$的所有倍数的集合，而列空间由

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$的倍数组成

因此我们也不能说这两个空间仅仅是对方的转置。

问题 13

证明集合$\{(1,-1,2,-3),(1,1,2,0),(3,-1,6,-6)\}$的生成空间与$\{(1,0,1,0),(0,2,0,3)\}$的生成空间不同。顺便说一句，向量空间是什么？

答案

首先，向量空间是实数四元组的集合，在自然运算下。虽然这并不是四维行向量的集合，但区别很小——它与该集合“相同”。所以我们将四元组视为四维向量。

这样，我们可以看到 $(1,0,1,0)$ 不在第一组的跨度内的一种方法是注意到这种简化

${\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\1&1&2&0\\3&-1&6&-6\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\0&2&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

以及这个

${\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\1&1&2&0\\3&-1&6&-6\\1&0&1&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -3\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{4}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\0&2&0&3\\0&0&-1&3/2\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

生成秩不同的矩阵。这意味着添加 $(1,0,1,0)$ 到前三个四元组的集合中会增加该集合的秩，因此也增加了该集合的跨度。因此 $(1,0,1,0)$ 不在跨度内。

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问题 14

证明这组列向量

$\left\{{\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\text{there are }}x,y,{\text{ and }}z{\text{ such that }}{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&4z&=&d_{1}\\x&&&-&z&=&d_{2}\\2x&+&2y&+&5z&=&d_{3}\end{array}}\right\}$

是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一个子空间。求一个基。

答案

它是一个子空间，因为它是一个矩阵的列空间。

${\begin{pmatrix}3&2&4\\1&0&-1\\2&2&5\end{pmatrix}}$

系数矩阵。为了找到列空间的一个基，

$\{c_{1}{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {R} \}$

我们取生成集中的三个向量，转置，化简，

${\begin{pmatrix}3&1&2\\2&0&2\\4&-1&5\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-(4/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(7/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}3&1&2\\0&-2/3&2/3\\0&0&0\end{pmatrix}}$

然后转置回来，得到这个。

$\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2/3\\2/3\end{pmatrix}}\rangle$

问题 15

证明转置运算为 **线性**

${{(rA+sB)}^{\rm {trans}}}=r{{A}^{\rm {trans}}}+s{{B}^{\rm {trans}}}$

对于 $r,s\in \mathbb {R}$ 以及 $A,B\in {\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$.

答案

这可以通过简单的计算来完成。

${\begin{array}{rl}{{(rA+sB)}^{\rm {trans}}}&={{\begin{pmatrix}ra_{1,1}+sb_{1,1}&\ldots &ra_{1,n}+sb_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\ra_{m,1}+sb_{m,1}&\ldots &ra_{m,n}+sb_{m,n}\end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}\\&={\begin{pmatrix}ra_{1,1}+sb_{1,1}&\ldots &ra_{m,1}+sb_{m,1}\\\vdots \\ra_{1,n}+sb_{1,n}&\ldots &ra_{m,n}+sb_{m,n}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ra_{1,1}&\ldots &ra_{m,1}\\\vdots \\ra_{1,n}&\ldots &ra_{m,n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}sb_{1,1}&\ldots &sb_{m,1}\\\vdots \\sb_{1,n}&\ldots &sb_{m,n}\end{pmatrix}}\\&=r{{A}^{\rm {trans}}}+s{{B}^{\rm {trans}}}\end{array}}$

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问题 16

在本节中，我们证明了高斯消元法可以找到行空间的基。

1. 证明这个基不唯一——不同的消元可能得到不同的基。
2. 构造行空间相同但行数不同的矩阵。
3. 证明两个矩阵的行空间相同当且仅当它们经高斯-约当消元后具有相同的非零行。

答案

1. 这些消元得到不同的基。

   ${\begin{pmatrix}1&2&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$

2. 一个简单的例子如下所示。

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   这是一个不太简单的例子。

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\\2&4&2\\4&3&5\end{pmatrix}}$

3. 假设 $A$ 和 $B$ 是行空间相等的矩阵。构造一个矩阵 $C$，其行向量为 $A$ 的行向量在 $B$ 的行向量之上，以及另一个矩阵 $D$，其行向量为 $B$ 的行向量在 $A$ 的行向量之上。

   $C={\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}\qquad D={\begin{pmatrix}B\\A\end{pmatrix}}$

   观察 $C$ 和 $D$ 是行等价的（通过一系列行交换），因此它们被高斯-若尔当消元到相同的简化阶梯形矩阵。由于行空间相等，$B$ 的行是 $A$ 的行的线性组合，所以对 $C$ 进行高斯-若尔当消元只是将 $B$ 的行变成零行，因此 $C$ 的非零行只是通过对 $A$ 进行高斯-若尔当消元得到的非零行。矩阵 $D$ 也是如此——对 $D$ 进行高斯-若尔当消元会给出与单独对 $B$ 进行消元相同的非零行。因此，$A$ 产生与 $C$ 相同的非零行，$C$ 产生与 $D$ 相同的非零行，$D$ 产生与 $B$ 相同的非零行。

问题 17

为什么当 $r$ 大于 $n$ 时，注记 3.14 不会出现问题？

答案

它不可能更大。

问题 18

证明一个 $m\!\times \!n$ 矩阵的行秩最多为 $m$。是否有更好的界限？

答案

最大线性无关集合中的行数不能超过行数。一个更好的界限（通常是最好的界限）是 $m$ 和 $n$ 的最小值，因为行秩等于列秩。

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问题 19

证明矩阵的秩等于其转置的秩。

答案

因为矩阵 $A$ 的行变成了 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的列，所以 $A$ 的行空间的维数等于 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的列空间的维数。但 $A$ 的行空间的维数是 $A$ 的秩，而 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的列空间的维数是 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的秩。因此这两个秩相等。

问题 20

判断对错：矩阵的列空间等于其转置矩阵的行空间。

答案

错误。前者是一组列，而后者是一组行。

然而，这个例子：

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}},\qquad {{A}^{\rm {trans}}}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}$

表明一旦我们对“相同”有了正式的定义，我们就可以将其应用于此。

$\mathop {\text{Columnspace}} (A)=[\{{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}\}]$

而

$\mathop {\mbox{Rowspace}} ({{A}^{\rm {trans}}})=[\{{\begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3&6\end{pmatrix}}\}]$

是“相同的”。

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问题 21

我们已经看到，行操作可能会改变列空间。它必须这样做吗？

答案

不。在这里，高斯消元法不会改变列空间。

${\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

问题 22

证明一个线性系统有解当且仅当该系统的系数矩阵与其增广矩阵具有相同的秩。

答案

一个线性系统

$c_{1}{\vec {a}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {a}}_{n}={\vec {d}}$

有解当且仅当 ${\vec {d}}$ 在集合 $\{{\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{n}\}$ 的线性组合中。这等价于增广矩阵的列秩等于系数矩阵的列秩。由于秩等于列秩，因此该系统有解当且仅当其增广矩阵的秩等于其系数矩阵的秩。

问题 23

一个 $m\!\times \!n$ 矩阵如果其行秩为 $m$，则称该矩阵具有满行秩；如果其列秩为 $n$，则称该矩阵具有满列秩。

1. 证明一个矩阵只有在它是方阵的情况下才能同时具有满行秩和满列秩。
2. 证明系数矩阵为 $A$ 的线性系统对于右边任何 $d_{1}$，..., $d_{m}$ 有解当且仅当 $A$ 具有满行秩。
3. 证明齐次线性系统有唯一解当且仅当其系数矩阵 $A$ 具有满列秩。
4. 证明语句“如果一个系数矩阵为 $A$ 的系统有解，那么它有唯一解”成立当且仅当 $A$ 具有满列秩。

答案

1. 行秩等于列秩，因此两者最多等于行数和列数的最小值。因此，只有当行数等于列数时，两者才能同时为满秩。（当然，反过来不成立：一个方阵不一定具有满行秩或满列秩。）
2. 如果 $A$ 的行满秩，那么无论右侧是什么，对增广矩阵使用高斯消元法最终会在每一行都得到一个主元，并且这些主元都不会出现在最右侧的列（即“增广”列）中。然后，回代即可得到解。另一方面，如果线性系统对于某些右侧没有解，则这只能是因为高斯消元法使得某些行在“增广”条的左侧全为零，而在右侧有一个非零项。因此，如果 $A$ 对于某些右侧没有解，那么 $A$ 不具有行满秩，因为其中的一些行已被消去。
3. 矩阵 $A$ 的列满秩当且仅当它的列构成一个线性无关集。这等价于只存在平凡线性关系。
4. 矩阵 $A$ 的列满秩当且仅当它的列集线性无关，因此构成它的张成的基。这等价于在该张成中所有向量都存在唯一的线性表示。

问题 24

如果高斯消元法允许将一行乘以零，那么 引理 3.3 的结论会发生什么变化？

答案

行空间不再相同，$B$ 的行空间将是（可能等于）$A$ 的行空间的子空间。

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问题 25

$\mathop {\mbox{rank}} (A)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (-A)$ 之间有什么关系？$\mathop {\mbox{rank}} (A)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (kA)$ 之间有什么关系？$\mathop {\mbox{rank}} (A)$、$\mathop {\mbox{rank}} (B)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)$ 之间有什么关系？

答案

很明显，$\mathop {\mbox{rank}} (A)=\mathop {\mbox{rank}} (-A)$，因为高斯消元法允许我们将矩阵的所有行乘以$-1$。同样，当$k\neq 0$ 时，我们有$\mathop {\mbox{rank}} (A)=\mathop {\mbox{rank}} (kA)$。

加法更有趣。和的秩可以小于被加数的秩。

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&-2\\-3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

和的秩可以大于被加数的秩。

${\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

但存在一个上限（除了矩阵的大小）。一般情况下，$\mathop {\mbox{rank}} (A+B)\leq \mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$。

为了证明这一点，请注意，对$A+B$ 进行高斯消元可以通过两种方式进行：我们可以先将$A$ 加到$B$ 上，然后应用适当的降阶步骤

$(A+B)\;{\xrightarrow[{}]{{\text{step}}_{1}}}\;\cdots \;{\xrightarrow[{}]{{\text{step}}_{k}}}\;{\text{echelon form}}$

或者，我们可以通过对 ${\text{step}}_{1}$ 到 ${\text{step}}_{k}$ 分别在 $A$ 和 $B$ 上进行，然后相加。在这种情况下，我们可以得到的最大秩显然是秩的总和。（上面的矩阵给出了两种可能性的示例，$\mathop {\mbox{rank}} (A+B)<\mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)=\mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$，都会发生。）