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环上的线性代数/自由模和矩阵

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定义(自由模):

是一个环,令 是一个任意集合。那么,**关于 -自由模**,记为 ,被定义为 -模,其元素是函数

它们在 上除了有限个元素外,在其他所有地方都为零,并具有逐点加法和标量乘法。

命题(自由模的基):

是一个环,令 是一个集合。那么,关于 -自由模的基由以下函数给出:

为了方便,我们将写 而不是 。因此,以上命题意味着我们可以将元素 表示为一个和

,

其中只有有限个 不为零。

证明: 是一个在除了有限个项外所有地方都为零的函数,令 。那么,我们有

.
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