环上的线性代数/同态与对偶模

命题（交换环上模同态乘以环元素是模同态）:

令 $M,N$ 为交换环 $R$ 上的模。令 $\phi :M\to N$ 为 $R$-模的同态，令 $r\in R$。那么函数

$rf:M\to N,(rf)(m):=rf(m)$

也是一个 $R$-模态射。

证明： 令 $s\in R$ 和 $m,n\in M$。那么 $(rf)(m+n)=(rf)(m)+(rf)(n)$ 并且由于 $R$ 是交换的，也有 $(rf)(sm)=rsf(m)=s(rf)(m)$。 $\Box$

定义（同态模）:

令 $R$ 为交换环

定义（对偶）:

设 $R$ 为交换环，设 $M$ 为 $R$-模。然后 $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ 有一个由加法和逐点乘法给出的模结构（因为环上的模范畴是加性的，并且所隐含的加法与逐点乘法兼容，在 $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ 闭合 下），并且这个模，简记为 $M^{*}$，称为 $M$ 的 **对偶**。

命题（模范畴是阿贝尔范畴）:

设 $R$ 为环。那么左 $R$-模的范畴 $R-{\textbf {Mod}}$ 是阿贝尔范畴。同样，右 $R$-模的范畴 ${\textbf {Mod}}-R$ 是阿贝尔范畴。

证明: 已经处理了核和余核的存在性，二元双积的存在性也是如此，因为在这种情况下，积和和在这个范畴中重合。此外，诺特同构定理成立。那么，这个范畴是加性的。实际上，上面所指示的同态群上的求和正是范畴意义上的加法。 $\Box$