环上的线性代数/模与线性函数

定义 (模):

设 $R$ 是一个环。左 $R$-模 是一个阿贝尔群 $(M,+)$ 以及一个函数 $R\times M\to M$，用并置表示，满足以下公理，对于所有 $r,s\in R$ 和 $m,n\in M$

1. $1m=m$
2. $(r+s)m=rm+sm$
3. $r(sm)=(rs)m$
4. $r(m+n)=rm+rn$

定义 (齐次):

设 $M$，$N$ 是环 $R$ 上的左模。一个函数 $f:M\to N$ 称为齐次当且仅当对于所有 $r\in R$ 和 $m\in N$，恒等式

$f(rm)=rf(m)$

成立。

定义 (线性):

令 $M$，$N$ 是环 $R$ 上的左模。函数 $f:M\to N$ 称为线性 当且仅当它既是齐次的又是从 $M$ 到 $N$ 的阿贝尔群同态。

定理（第一同构定理）:

令 $M$ 和 $N$ 是环 $R$ 上的左模。令 $\varphi :M\to N$ 是线性函数。那么

$M/\ker \varphi \cong \operatorname {im} \varphi$.

证明：   $\Box$

练习

1. 证明对于左 $R$-模之间的函数 $f:M\to N$，以下等价
   1. $f$ 是线性的
   2. 对于所有 $m,n\in M$ 和 $r\in R$，我们有 $f(m+n)=f(m)+f(n)$ 和 $f(rm)=rf(m)$
   3. 对于所有 $m,n\in M$ 和 $r\in R$，我们有 $f(m+rn)=f(m)+rf(n)$
   4. 对于所有 $m,n\in M$ 和 $r,s\in R$，我们有 $f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)$