环上的线性代数/多线性代数

定义（多线性函数）:

设$R$ 为一个环，并设$M_{1},\ldots ,M_{n},K$ 为$R$-模。则从$M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ 到$K$ 的$R$-多线性函数 的集合是

$L(M_{1},\ldots ,M_{n},K):=\left\{f:M_{1}\times M_{n}\to K|\forall j\in [n]:\forall m_{1}\in M_{1},\ldots ,m_{n}\in M_{n},l_{j}\in M_{j},r\in R:f(m_{1},\ldots ,m_{j}+rl_{j},\ldots ,\right\}$.

命题（使用多线性函数的自由模张量积的等价定义）:

设$R$ 为一个环，并设$M_{1},\ldots ,M_{n}$ 为自由的、有限生成的$R$-模。那么，如果我们另行定义

$M_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes M_{n}^{*}:=L(M_{1},\ldots ,M_{n},R)$,

并设基本张量为$m_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes m_{n}^{*}(l_{1},\ldots ,l_{n}):=m_{1}^{*}(l_{1})\cdots m_{n}^{*}(l_{n})$，则根据此定义得到的$M_{1}\otimes M_{n}$满足与通常的张量积$M_{1}\otimes \cdots \otimes M_{n}$相同的泛性质。特别地，这两个张量积是自然同构的。

证明：对于$j\in [n]$，设$(e_{\lambda }^{j})_{\lambda \in \Lambda _{j}}$是$M_{j}$的一个基，其中$\Lambda _{j}$是相应的有限指标集。给定任意$R$-模$K$和任意多线性映射$f:M_{1}\times \cdots \times M_{n}\to K$，我们想要一个唯一的线性函数$g:M_{1}\otimes \cdots \otimes M_{n}\to K$，使得$g\circ h=f$，其中$h:M_{1}\times \cdots \times M_{n}\to M_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes M_{n}^{*}$是将元组映射到相应基本张量的映射。 $\Box$