环上的线性代数/投影和内射模

定理（巴尔判据）:

在交换环 $R$ 上的模 $M$ 是内射的当且仅当对于每个理想 $I\leq R$ ，每个 $R$ -模同态 $\varphi :I\to M$ 可以扩展到一个 $R$ -模同态 $\Phi :R\to M$ ，即扩展到一个满足 $\Phi \upharpoonright _{I}=\varphi$ 的同态 $\Phi :R\to M$ 。

（在选择公理的条件下。）

证明： “当且仅当”部分根据单射的定义是显而易见的。反之，假设 $M$ 满足定理陈述中描述的扩张性质。现在令 $K,L$ 为 $R$ -模，令 $\psi :K\to M$ 为同态，令 $\iota :K\to L$ 为单射。根据单射模的定义，我们必须证明存在一个同态 $\Psi :L\to M$ 满足 $\Psi \circ \iota =\psi$ ，即扩展 $\psi$ 关于包含 $\iota :K\to L$ ，正如代数学家所说的。现在像 $\operatorname {Im} \iota :=L'$ 的像，它是 $L$ 的一个子模，它与 $K$ 同构，通过 $\iota$ 的单射，因此 $\iota$ 的逆与 $\psi$ 的前合成产生从 $L'$ 到 $M$ 的同态。现在我们用如下顺序对所有这个同构的扩张进行偏序， $\alpha \leq \beta$ 当且仅当

$\alpha$ 的定义域包含在 $\beta$ 的定义域内，并且
$\alpha$ 和 $\beta$ 在 $\alpha$ 的定义域上重合。

根据 Zorn 引理，由于每个关于此序的链都有上界（即在各自定义域并集内为元素分配任何相应同态在该元素上的值），因此存在一个关于该序的最大同态 $\Psi$ 。我们断言 $\Psi$ 在整个 $L$ 上都有定义。事实上，假设情况并非如此，我们可以选择一个元素 $l\in L$ ，其中 $\Psi$ 未定义。令 $L''\leq L$ 为 $\Psi$ 的定义域，因此 $l\notin L''$ 。定义理想

I:=\{r\in R|rl\in L''\}

的 $R$ ；它可能为零理想。 $\Psi$ 在 $I$ 上定义，并产生 $I$ 上的一个同态。根据假设，此同态可以扩展到一个同态 $f:R\to M$ 。然后我们定义 $L''':=L''+\langle l\rangle$ ； $L$ 的一个子模，它严格大于 $L''$ ，因为它包含 $l$ 。在 $L'''$ 上，我们定义同态