电子学材料/薛定谔方程

薛定谔方程是一个 微分方程，它描述了Ψ(x)随时间的演化。通过针对特定情况求解该微分方程，可以找到波函数。它是粒子能量守恒的表述。

一维薛定谔方程

在最简单的情况下，一个在一维空间中的粒子，它的推导如下

$T\left(x\right)+V\left(x\right)=E,$

其中

• T(x)是粒子的动能
• V(x)是粒子的势能
• E是粒子的能量，它是一个常数

用波的动能进行替换，如 这里所示

${{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2m}}+V\left(x\right)=E$

现在我们需要将这个微分方程用Ψ(x)表示。假设Ψ(x)由以下给出

$\psi \left(x\right)=\psi _{0}e^{jkx}$

对我们的试解进行二次微分，

${{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi \left(x\right)$	$=-k^{2}\psi _{0}e^{jkx}$
	$=-k^{2}\psi \left(x\right)$

重新排列以获得k²

$k^{2}=-{1 \over {\psi \left(x\right)}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi \left(x\right)$

将此代入微分方程得到

$-{1 \over {\psi \left(x\right)}}{\hbar ^{2} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi \left(x\right)+V\left(x\right)=E$

用Ψ(x)乘以整个式子，得到一维薛定谔方程

[一维薛定谔方程]

$-{\hbar ^{2} \over {2m}}{{d^{2}\psi \left(x\right)} \over {dx^{2}}}+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)$

求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，它可以用来找到系统中的电子分布。

这是一个与时间无关的解 - 它不会随着时间的推移而改变。为该方程添加时间依赖性很简单，但目前我们只考虑与时间无关的波函数，因此没有必要。时间相关的波函数用 $\Psi \left(x,t\right)$

虽然这个方程是为一个特定的函数（复指数函数）推导的，但它比看起来更通用，因为 傅里叶分析 可以将任何范围为L的连续函数表示为这类函数的总和。

${f}\left({x}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{c_{n}e^{-jkx},}\quad k={{n\pi } \over L}$

薛定谔方程作为特征方程

薛定谔方程可以表示为以下形式的特征方程

[薛定谔方程作为特征方程]

$H\psi =E\psi \,$

其中

• ψ是特征函数（或特征态，两者意思相同）
• E是对应于能量的特征值。
• H是哈密顿算符，由以下给出

[一维哈密顿算符]

$H=-{\hbar \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}+V\left(x\right)$

这意味着，通过将算符H应用于函数ψ(x)，我们将得到一个解，它仅仅是ψ(x)的标量倍数。这个倍数是E - 粒子的能量。

这也意味着每个波函数（即薛定谔方程的每一个解）都有一个特定的关联能量。

更高维度

我们刚刚推导出的方程是单维粒子的薛定谔方程。添加更多维度并不困难。三维方程为

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\nabla ^{2}\psi \left({\mathbf {r} }\right)+V\left({\mathbf {r} }\right)\psi \left({\mathbf {r} }\right)=E\psi \left({\mathbf {r} }\right)$

其中 $\nabla ^{2}$ 是拉普拉斯算符，在笛卡尔坐标系中，由以下给出

$\nabla ^{2}={{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}$

参见此页面以了解推导过程。也可以添加更多维度，但这通常不会产生有用的结果，因为我们生活在一个三维宇宙中。

自旋

为了将薛定谔方程与相对论相结合，保罗·狄拉克 证明了电子具有一个额外的性质，称为自旋。这实际上并不意味着电子在一个轴上自旋，但从某种意义上说，这是一个有用的类比。

电子的自旋可以取两个值；

$\pm {1 \over 2}\hbar$

我们可以通过乘以一个额外的分量 - 自旋波函数 σ(s) 来将自旋合并到波函数 Ψ 中，其中 s 为 ±1/2。这通常分别被称为 "自旋向上" 和 "自旋向下"。完整的、与时间相关的波函数现在由下式给出

$\Psi \left({{\mathbf {r} },t}\right)=\psi \left({\mathbf {r} }\right)w\left(t\right)\sigma \left(s\right)$

波函数的条件

为了表示一个粒子的状态，波函数必须满足几个条件

• 它必须是平方可积的，而且，波函数的概率密度函数的积分必须等于 1，因为电子必须存在于整个空间的某个地方

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\left|{\psi \left({\mathbf {r} }\right)}\right|^{2}dx\,dy\,dz}}}=1$

对于一维系统，这是

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\left|{\psi \left(x\right)}\right|^{2}dx=1}$

• $\psi \left(\mathbf {r} \right)$ 必须是连续的，因为它的导数，它与动量成正比，必须是有限的。

• ${\frac {d\psi \left(\mathbf {r} \right)}{dx}}$ 必须是连续的，因为它的导数，它与动能成正比，必须是有限的。

• $\psi \left(\mathbf {r} \right)$ 必须满足边界条件。特别是，当 x 趋于无穷大时，ψ(r) 趋于零。（这是为了满足上面的归一化条件）。

薛定谔方程的应用示例

薛定谔方程可用于寻找许多物理系统的波函数。有关更多信息，请参见 受限粒子。

总结

• 薛定谔方程 (SE) 是能量守恒定律的陈述。
• 它由 $-{\hbar ^{2} \over {2m}}{{d^{2}\psi \left(x\right)} \over {dx^{2}}}+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)$
• 通过求解方程，可以得到波函数 ψ。
• 从波函数中，我们找到电子的概率函数分布。
• 电子存在于整个空间的概率必须为 1。
• SE 给出一组离散的波函数，每个波函数都与一个相应的能量相关联。
• 电子不能存在于这些能量之外的能量处。