电子材料/波粒二象性/双缝实验/理想/辐照度

此页面将讨论两个矢量波产生的效果，这比简单地叠加标量波更复杂。根据叠加原理，电场强度E（矢量量）在P点由该点所有n个独立场之和给出

$\mathbf {E} =\sum _{i=1}^{n}{\mathbf {E} _{i}}$

通常，由于电磁波的快速振荡（数百太赫兹），无法测量实际的场。因此，我们将通过观察产生的辐照度来解决问题，而不是场。

我们现在将考虑两个点源，S₁和S₁，并且只处理线性偏振波。现在，入射到P的两个波（每个源一个）由以下方程给出

$\mathbf {E} _{1}\left(\mathbf {r} ,t\right)=\mathbf {E} _{0,1}\cos \left(\mathbf {k} _{1}\cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{1}\right)$

$\mathbf {E} _{2}\left(\mathbf {r} ,t\right)=\mathbf {E} _{0,2}\cos \left(\mathbf {k} _{2}\cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{2}\right)$

其中

• E_n是由该波引起的光场
• E_0,n是该波的振幅矢量
• k_n是表示传播方向和波数k的波矢
• r是点P的位置矢量
• ω是波的角频率
• t是时间
• φ_n是该波的初始相位

下图显示了所有这些元素

现在，辐照度由下式给出

$I=\epsilon v\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle$

其中$\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle$表示电场强度平方大小的时间平均值。这是场论的一个基本结果，这里不是证明它的合适地方。目前，由于我们正在处理相对强度，我们将省略常数并设置

$I=\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle$

根据叠加原理，

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}$

其中E₁和E₂是由每个狭缝产生的场的分量。现在我们可以写

$\mathbf {E} ^{2}=\left(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\right)^{2}$

$\mathbf {E} ^{2}=\mathbf {E} _{1}^{2}+\mathbf {E} _{2}^{2}+2\mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}$

对该方程两边进行时间平均，得到

$\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle =\langle \mathbf {E} _{1}^{2}\rangle +\langle \mathbf {E} _{2}^{2}\rangle +2\langle \mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}\rangle$

我们将将其写成辐照度的和

$I=I_{1}+I_{2}+I_{1,2}\,$

该表达式中的最后一项称为干涉项。回顾我们对两个波的表达形式（请注意，我们现在用电场来描述波），可以写成

$\mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}=A_{1}\sin \left(k_{1}x-\omega t+\phi _{1}\right)\times A_{2}\sin \left(k_{2}x-\omega t+\phi _{2}\right)$

应用倍角公式，得到

$\mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}=A_{1}A_{2}\left[\sin \left(k_{1}x+\phi _{1}\right)\sin \left(\omega t\right)+\cos \left(k_{1}x+\phi _{1}\right)\cos \left(\omega t\right)\right]\times \left[\sin \left(k_{2}x+\phi _{2}\right)\sin \left(\omega t\right)+\cos \left(k_{2}x+\phi _{2}\right)\cos \left(\omega t\right)\right]$