物理数学方法/解析函数

复分析在物理现象研究中占有重要地位。复变函数理论的重要性尤其体现在量子力学中，因为复分析只是经典力学中一个有用的工具，但对量子物理学的各种特性至关重要。

复函数

函数$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$是一个复函数。

连续性

令$f$为复函数。令$a\in \mathbb {C}$

$f$在$a$处连续当且仅当对于每个$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得$|z-a|<\delta$意味着$|f(z)-f(a)|<\epsilon$

可微性

令$f$为复函数，令$a\in \mathbb {C}$。

$f$在$a$处可微当且仅当存在$L\in \mathbb {C}$满足$\lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}=L$

解析性

复分析的一个奇迹是，如果一个复函数 $f$ 在 $\mathbb {C}$ 中的每个点处可微，那么它对每个 $n\in \mathbb {N}$ 都是可微的，此外，它可以用幂级数表示，即

对于每个 $z_{0}$ 都存在 $a_{0},a_{1}a_{2},\ldots$ 和 $\delta >0$ 使得如果 $|z-z_{0}|<\delta$ 则 $f(z)=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\ldots$

这类函数称为 **解析函数** 或 **全纯函数**。

路径积分

在 $\mathbb {C}$ 中的有限路径被定义为连续函数 $\Gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$

如果 $f$ 是一个连续函数，则 $f$ 沿路径 $\Gamma$ 的积分被定义为

$\int _{0}^{1}f(\Gamma (x))dx$，它是一个普通的黎曼积分