物理数学方法/傅立叶变换

傅立叶变换在几乎所有物理领域都有应用。它们用于将一个变量转换为另一个变量的空间，这个空间要么更容易处理，要么更具信息量（例如，可以用电场强度来表示电磁波，但对于实际测量，我们希望将波表示为几个频率的总和（称为谱分解））

这与拉普拉斯变换的使用方式类似，但更适合于具有某些振荡行为的函数。

${\tilde {f}}(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi ist}\ dt$ 以及 $f(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(s)e^{2\pi ist}\ ds$

（注意，有些教科书在这些积分前面会有不同的因子）

== 例子

1. 考虑一个电磁波 $E(t)=E_{0}sin(\omega _{0}t)$。确定波的强度作为频率 $\omega$ 的函数。（对于任何物理专业的学生来说，这波只有一个频率应该很明显，所以我们可以用这个事实来检查我们的最终结果是否与预期相符）

应用傅立叶变换积分： ${\tilde {E}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E_{0}sin(\omega _{0}t)e^{-2\pi i\omega t}\ dt$

为了做到这一点，我们需要记住一些恒等式，

• $sin(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2i}}\$
• $e^{a}e^{b}=e^{a+b}$
• $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i(x-x')t}dt=\delta (x-x')$

使用第一个和第二个恒等式， ${\tilde {E}}(\omega )={\frac {E_{0}}{2i}}\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }[e^{2\pi i(\omega _{0}+\omega )t}+e^{2\pi i(\omega _{0}-\omega )t}]dt$

从这里我们可以看到每个积分实际上就是一个狄拉克函数，我们可以把它简化为 ${\tilde {E}}(\omega )={\frac {E_{0}}{2i}}\ [\delta (2\pi (\omega _{0}+\omega ))+\delta (2\pi (\omega _{0}-\omega ))]$

这告诉我们，只有 $\omega _{0}$ 和 $-\omega _{0}$ 频率的振幅不为零。但是作为物理学家，我们知道频率不会是负数，所以这与我们预期的结果一致（即只有一个频率存在）。