物理数学方法/梯度、旋度和散度

在本节中，我们将考虑向量空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 在实数上的基底为 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$.

现在我们希望处理向量微积分的一些入门概念。

向量场和标量场

定义

令 $C:\mathbb {R} ^{3}\to F$，其中 $F$ 是一个域。我们说 $C$ 是一个**标量场**

在现实世界中，标量场的例子包括

(i) 空间中的静电势 $\phi$

(ii) 固体中温度的分布，$T(\mathbf {r} )$

定义

令 $V$ 是一个向量空间。令 $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to V$，我们说 $\mathbf {F}$ 是一个**向量场**；它将一个向量与 $V$ 中的每个点相关联。

在现实世界中，向量场的例子包括

(i) 空间中的电场和磁场 ${\vec {E}}(\mathbf {r} ),{\vec {B}}(\mathbf {r} )$

(ii) 流体中的速度场 ${\vec {v}}(\mathbf {r} )$

梯度

令 $C$ 为一个标量场。我们定义梯度为一个“算子” $\nabla$，它将场 $C$ 映射到 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的一个向量，使得

$\nabla C=\left({\frac {\partial C}{\partial x}},{\frac {\partial C}{\partial y}},{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)$，或者用更常见的表示方法， $\nabla C={\frac {\partial C}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial C}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}{\hat {z}}$

在正式定义希尔伯特空间这一章之前，我们将遇到物理学家对“算子”的理解。它可以粗略地理解为“函数的函数”。

梯度和全导数

回想多元微积分中的全导数，它定义了函数 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 在 $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}$ 处的线性变换 $A$，它满足

$\lim _{|\mathbf {h} |\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-A\mathbf {h} }{|\mathbf {h} |}}=0$

在通常的基底中，我们可以将其表示为行矩阵 $f'(\mathbf {a} )=A=\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {\partial f}{\partial x}}&{\tfrac {\partial f}{\partial y}}&{\tfrac {\partial f}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}$

通常用列矩阵来表示向量。 因此我们可以写出$\nabla f=\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\\{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\\{\tfrac {\partial f}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}$

由成分$a_{ij}$ 给出的矩阵的转置是具有成分$a_{ij}^{T}=a_{ji}$ 的矩阵。

因此，梯度是全导数的转置。

散度

令$\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 为向量场，并令$\mathbf {F}$ 可微。

我们定义**散度**为算符$(\nabla \cdot )$，它将$\mathbf {F}$ 映射到一个标量，使得

$(\nabla \cdot \mathbf {F} )={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

旋度

令$\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 为向量场，并令$\mathbf {F}$ 可微。

我们定义**旋度**为算符$(\nabla \times )$，它将$\mathbf {F}$ 映射到一个从$\mathbb {R} ^{3}$ 到自身的线性变换，使得该线性变换可以用矩阵表示

$(\nabla \times \mathbf {F} )_{ij}={\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}$ 可以简写为 $(\nabla \times \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}$。这里，$x_{1},x_{2},x_{3}$ 代表 $x,y,z$ 等等。

旋度可以用矩阵明确表示为：$\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}0&\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}&\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{2}&0&\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{3}&\partial _{3}F_{2}-\partial _{2}F_{3}&0\\\end{pmatrix}}$

这种记号有时也用来表示向量 **外积** 或 **叉积**，$\nabla \times \mathbf {F} =(\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}){\hat {x}}+(\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}){\hat {y}}+(\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}){\hat {z}}$