物理数学方法/矩阵

我们已经在上一章介绍了矩阵作为线性变换表示的概念。在这里，我们将更深入地探讨它们。

定义

令 $F$ 为域，并令 $M=\{1,2,\ldots ,m\}$ ， $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ 。n×m 矩阵 是一个函数 $A:N\times M\to F$ 。

我们表示 $A(i,j)=a_{ij}$ 。因此，矩阵 $A$ 可以写成数字数组 $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

考虑在域 $F$ 上定义的所有 n×m 矩阵的集合。让我们定义 *标量积* $cA$ 为矩阵 $B$ ，其元素由 $b_{ij}=ca_{ij}$ 给出。另外，让两个矩阵的 *加法* $A+B$ 为矩阵 $C$ ，其元素由 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ 给出。

根据这些定义，我们可以看到在 $F$ 上的所有 n×m 矩阵的集合构成一个在 $F$ 上的向量空间。

线性变换

令 $U,V$ 是在域 $F$ 上的向量空间。考虑所有线性变换的集合 $T:U\to V$ .

将变换的加法定义为 $(T_{1}+T_{2})\mathbf {u} =T_{1}\mathbf {u} +T_{2}\mathbf {u}$ ，标量积定义为 $(cT)\mathbf {u} =c(T\mathbf {u} )$ 。因此，从 $U$ 到 $V$ 的所有线性变换的集合是一个向量空间。这个空间记作 $L(U,V)$ 。

观察到 $L(U,V)$ 是一个 $mn$ 维向量空间

矩阵运算

行列式

矩阵的行列式是递归定义的（只有方阵才能定义行列式）。

如果 $A$ 是一个矩阵，它的行列式表示为 $|A|$

我们定义， $\left|{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}\right|=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

对于 $n=3$ ，我们定义 $\left|{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\right|=a_{11}\left|{\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\right|-a_{12}\left|{\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\right|+a_{13}\left|{\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{pmatrix}}\right|$