物理数学方法/里斯表示定理

在本章中，我们将更正式地讨论 bra $|\rangle$ 和 ket $\langle |$ 符号，这些符号在上一章中介绍。

投影

定义

令 ${\mathcal {H}}$ 是一个希尔伯特空间，并令 $\ell :{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ 是一个连续线性变换。那么 $\ell$ 被称为 ${\mathcal {H}}$ 上的线性泛函。

${\mathcal {H}}$ 上所有线性泛函的空间记为 ${\mathcal {H}}^{*}$。请注意，${\mathcal {H}}^{*}$ 是一个 $\mathbb {C}$ 上的赋范向量空间，其中 $\|\ell \|=\sup \left\{{\frac {|\ell (x)|}{\|x\|}}:x\in {\mathcal {H}};\|x\|\neq 0\right\}$

我们也有一个明显的定义：$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in {\mathcal {H}}$ 被称为**正交**，如果 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$。 我们将其写为 $\mathbf {a} \perp \mathbf {b}$。 如果 $A\subset {\mathcal {H}}$ 那么我们写 $\mathbf {b} \perp A$ 如果 $\mathbf {b} \perp \mathbf {a} \forall \mathbf {a} \in A$

定理

令 ${\mathcal {H}}$ 为希尔伯特空间，令 ${\mathcal {M}}$ 为 ${\mathcal {H}}$ 的闭子空间，令 ${\mathcal {M}}^{\perp }=\{x\in {\mathcal {H}}:(x\cdot a)=0\forall a\in {\mathcal {M}}\}$。 那么，每个 $z\in {\mathcal {H}}$ 都可以写成 $z=x+y$，其中 $x\in {\mathcal {M}},y\in {\mathcal {M}}^{\perp }$

证明

里斯表示定理

令 ${\mathcal {H}}$ 为希尔伯特空间。 那么，每个 $\ell \in {\mathcal {H}}^{*}$（即 $\ell$ 是一个线性泛函）可以表示为一个内积。