物理数学方法/求和约定

基本符号 当处理张量时，经常需要进行大量的求和运算。为了简化求和过程，我们使用爱因斯坦指标符号。

符号很简单。我们只需写下$A_{j}B_{j}$，而不是写$\sum _{j}A_{j}B_{j}$，隐含着对 j 的求和。

一些常用的张量用此符号表示：

• $\delta _{a}^{b}$ 只有在$a=b$ 时才不为零。
• $\epsilon _{ijk}$ 当$i=j\lor j=k\lor i=k$ 时为零。对于奇排列（即$\epsilon _{jik}=-\epsilon _{ijk}=-\epsilon _{kij}$）。换句话说，交换任意两个指标都会翻转张量的符号。
• 它们的关系为$\epsilon _{ijk}\epsilon ^{imn}=\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{n}-\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{m}$（自己验证一下）

现在我们可以写出一些常见的向量运算：

• 标量（点）积 ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=A_{i}B_{i}$
• 向量（叉）积 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}=\epsilon _{ijk}A_{j}B_{k}$

例子

• 无序列表项目

证明 ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {A}})$

$A_{i}(\epsilon _{ijk}B_{j}C_{k})$ 从这里我们可以交换索引 (i <-> j) 并得到 $B_{j}(-\epsilon _{jik}A_{i}C_{k})$。注意符号反转。为了再次得到正号，我们可以交换索引 (i <-> k) 并得到 $B_{j}(\epsilon _{jki}C_{k}A_{i})={\vec {B}}\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {A}})$，如预期的那样。

• 证明 ${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})\equiv \epsilon _{ijk}A_{j}(\epsilon _{klm}B_{l}C_{m})$ （密切关注索引 - 一些学生会不小心添加太多）

我们知道我们想要从这里得到一个点积。为了做到这一点，我们将不得不使用 Levi-Cevita 张量用 Kronecker 狄拉克函数表示的展开式。我们想要得到具有相同第一个索引的张量，所以我们可以通过交换索引 (i <-> k) 来做到这一点 $-\epsilon _{kji}\epsilon _{klm}A_{j}B_{l}C_{m}=-(\delta _{jl}\delta _{im}-\delta _{jm}\delta _{il})A_{j}B_{l}C_{m}$。现在我们可以观察到第一项只有在 j=i 且 l=m 时才非零，所以 $\delta _{jl}\delta _{im}A_{j}B_{l}C_{m}=A_{i}B_{l}C_{l}$。注意，这只是点积 $({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})A_{i}$。第二项只有在 k = m 且 j = l 时才非零，所以 $\delta _{km}\delta _{jl}A_{j}B_{l}C_{m}=A_{j}B_{j}C_{k}=({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})C_{k}$

将这些结合起来，我们得到 $({\vec {A}}\cdot {\vec {C}})B_{k}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})C_{k}=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$，如预期。

张量符号 当使用张量时，上下标之间的区别以及它们的顺序变得很重要。 $T_{b}^{a}v^{b}$ 将被收缩成一个新的向量，但 $T_{b}^{a}v_{b}$ 不会。

可能会有用的定义：如果一个张量是对称的，那么它满足 $T_{ab}=T_{ba}$ 的性质。如果一个张量是反对称的，那么 $T_{ab}=-T_{ba}$ 许多张量都不满足这些性质 - 所以在盲目地将它们应用于某个问题之前，确保使用它们是有意义的。