物理数学方法/多极展开

张量在所有涉及复杂方向依赖性的物理情况下都有用。这里，我们考虑一个这样的例子，即电荷分布势的多极展开。

介绍

考虑任意电荷分布 $\rho (\mathbf {r} ')$。我们希望找到此电荷分布在给定点 $\mathbf {r}$ 处的静电势。我们假设此点距离电荷分布很远，也就是说，如果 $\mathbf {r} '$ 在整个电荷分布上变化，则 $\mathbf {r} >>\mathbf {r} '$

现在，电荷分布的库仑势由 $V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}dV'$

这里，$|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=|r^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '+r'^{2}|^{\frac {1}{2}}=r\left|1-2{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right|^{\frac {1}{2}}$，其中 ${\hat {\mathbf {r} }}\triangleq \mathbf {r} /r$

因此，利用 $\mathbf {r}$ 比 $\mathbf {r} '$ 大得多的事实，我们可以写成 ${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{\left|1-2{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right|^{\frac {1}{2}}}}$，并使用二项式展开，

${\frac {1}{\left|1-2{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right|^{\frac {1}{2}}}}=1+{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+{\frac {1}{2r^{2}}}\left(3({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)^{2}-r'^{2})+O\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}$ （我们忽略三阶及更高阶项）。

多极展开

因此，势可以写成 $V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left(1+{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}{r}}+{\frac {1}{2r^{2}}}\left(3({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)^{2}-r'^{2})+O\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right)dV'$

我们将其写成 $V(\mathbf {r} )=V_{\text{mon}}(\mathbf {r} )+V_{\text{dip}}(\mathbf {r} )+V_{\text{quad}}(\mathbf {r} )+\ldots$，其中，

$V_{\text{mon}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')dV'$

$V_{\text{dip}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)dV'$

$V_{\text{quad}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left(3\left({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '\right)^{2}-r'^{2}\right)dV'$

等等。

单极子

观察到 $Q=\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')dV'$ 是一个标量（实际上是分布中的总电荷），被称为电单极子。这个术语表示点电荷的电势。

偶极子

我们可以写 $V_{\text{dip}}(\mathbf {r} )={\frac {\hat {\mathbf {r} }}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\cdot \int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\mathbf {r} 'dV'$

向量 $\mathbf {p} =\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\mathbf {r} 'dV'$ 被称为电偶极子。它的幅值被称为电荷分布的偶极矩。这个术语表示偶极子电势的线性电荷分布几何形状。

四极子

令 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 和 $\mathbf {r} '$ 用笛卡尔坐标表示为 $(r_{1},r_{2},r_{3})$ 和 $(x_{1},x_{2},x_{3})$。那么，$({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} ')^{2}=(r_{i}x_{i})^{2}=r_{i}r_{j}x_{i}x_{j}$

我们定义一个二元张量为张量${\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}$，由$\left({\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)_{ij}=r_{i}r_{j}$给出。

定义四极矩张量为$T=\int _{V'}\rho (\mathbf {r} ')\left(3(\mathbf {r} '\mathbf {r} ')-\mathbf {I} r'^{2}\right)dV'$

那么，我们可以写$V_{\text{qua}}$ 为张量收缩$V_{\text{qua}}(\mathbf {r} )=-{\frac {{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}::T$，这表明了三维空间中四极电势的分布。