数学证明与数学原理/引言
查尔斯·勒特维奇·道奇森，更广为人知的名字是刘易斯·卡罗尔，提出了一个修辞性的问题：“现在，你在几何学手册中真正需要的是什么？” 他的答案不是一本列出有关几何学事实的书，而是，“...一本能够让学习者练习清晰明确的理解习惯，并能让他测试科学论证的逻辑价值的书。” 这反映了长期以来的传统，即学习几何学，以及更普遍的数学，有助于学生培养清晰和逻辑思维的能力。 这些技能在日常生活中以及民主的正常运作中都极其重要。
也许，如果目标是培养清晰和逻辑的思维能力，那么学习专门为此设计的文本可能比学习数学更好，在数学中，清晰和逻辑的思维能力只是一个有用的副产品。 但可以肯定的是，推理的正确使用是现代数学的核心，特别是在构建证明的过程中。 对逻辑作为数学基础的坚持，不仅帮助该学科避免了错误的结果，而且指引了它发现了新的知识领域，这些领域的存在以前是无法预测的。
这本书旨在成为逻辑推理使用的指南，正如它目前在数学中所实践的那样。 严格程度的标准确实随着时间的推移而发生变化，几百年前可接受的标准在今天将不被允许。 但对数学严格性的渴望已经存在了数千年，而且可能还会持续数千年。 我们已经包含了一个关于历史的章节，描述了标准的一些变化。 它的目的是为主题提供一些动力和视角，但本书的其余部分应该独立于它，因此如果你愿意，可以跳过它。
不可否认的是，数学是一门困难的学科。 但可以通过不依赖单一来源进行学习来使其变得更容易。 这与通常的做法相反，即为一个班级分配一本专门使用的书。 但事实是，不同的作者以不同的方式解释事物，而一些解释可能比另一些更能引起一些学习者的共鸣。 为此，我们提供了一些替代方案的列表，供你在遇到困难时参考。
- 证明和数学语言导论，作者 Martin Day，（免费在线）
- 证明之书，作者 Richard Hammack，（免费在线）
- 如何阅读和做证明：数学思维过程导论，作者 Daniel Solow
- 数学推理：写作和证明，作者 Ted Sundstrom，（免费在线）
- 数学艺术的温和介绍，作者 Joseph E. Fields（免费在线）
对于那些喜欢观看而不是阅读的人，也有一些屏幕录制讲座课程。
- 数学交流，是 Ted Sundstrom 的书的配套材料。
- 高等数学导论，作者 Bill Shillito
- 计算机科学数学，作者 Albert R. Meyer 和 Adam Chlipala。 它是麻省理工学院开放课程的一部分，强调离散结构和计算。
从某种意义上说，没有哪本书或老师能够教你如何做我们正在谈论的这种数学。 你必须自学，学习的唯一途径就是实践。 一本书可以让你踏上正确的道路，并在途中提供路标，但没有人可以替你完成旅程。 因此，这里只给出了几个证明作为例子，其余的留给读者去补充。
人们常说数学是一种语言；有些人甚至说它是宇宙与我们交流的语言。 这本书试图描述这种语言的语法和词汇，但没有哪本语言书能够在没有对其使用者文化的一些描述的情况下完整。 因此，本书还将包含一些关于数学的历史和轶事：这是数学家们都知道的，但可能在典型的数学书籍中不会涵盖的信息。
在像这样的书中，很容易开始深入探讨数学逻辑和数学基础。 问题是，一旦你拿起铲子，就很难放下它。 这对于本书的目的也不起作用，因为主题越深入，就越深奥。 所以，假设阅读本书的人想继续实际证明定理，我们将尝试只包含那些促进我们这里目标的基础材料。
我们试图在这里教授数学过程，而不是作为任何单个数学主题的完整阐述。 所以我们可能偶尔会要求读者接受一些结果，而不提供证明，如果证明非常困难或复杂。 我们希望实现的理想是，所有证明都可以由读者补充，从简单开始，逐渐发展到更困难的证明。 但数学并不总是让自己如此方便，有时需要困难的结果来证明更简单的结果，因此必须不时做出让步。