数学证明与数学/逻辑/量词和谓词原理

到目前为止，我们只讨论了陈述的逻辑。但数学也讨论事物，例如集合和数字。我们需要扩展我们的逻辑系统，以包括对关于事物的陈述进行推理。此时，逻辑通常呈现的方式与它在数学中常用的方式略有不同。我们的任务是描述后者，因此我们的符号和证明布局将与你在逻辑教科书中看到的略有不同。

论域

回想一下，谓词可以被认为是一个函数，其值是真或假。更具体地说，它们将我们“论域”中的对象作为输入，并生成真值作为输出。在数学中，论域由上述集合和数字等数学对象组成。请注意，逻辑不需要这样做，也不需要论域与实际宇宙有任何关系。因此，在逻辑上，没有理由假设论域中存在任何对象。实际宇宙中是否存在任何对象是物理学家要决定的问题。

谓词符号

我们将使用符号 $P(x)$，$Q(x)$，... 来代表谓词，其中 $x$ 表示我们论域中的一个对象。字母 $x$ 的选择在某种程度上是任意的，因此我们也可以使用 $P(y)$ 来表示谓词。类似地，我们将使用 $R(x,y)$，$S(x,y)$，$T(x,y,z)$... 来代表二元关系（对于 $R$ 和 $S$），三元关系（对于 $T$），等等。通常在这种情况

由于字母 $x$ 在 $P(x)$ 中的选择是任意的，用更通用的占位符写谓词可能更正确，例如写成 $P(\cdot )$ 。但是，对于更复杂的表达式，这会变得模棱两可。例如，如果你用逻辑连接词组合两个谓词，如 $P(\cdot )$ 蕴涵 $Q(\cdot )$ ，它可能意味着谓词 $P(x)$ 蕴涵 $Q(x)$ ，或者它可能意味着关系 $P(x)$ 蕴涵 $Q(y)$ 。

请注意，逻辑中的常用符号不使用括号，因此谓词将写成 $Px$ 。我们使用括号是为了强调谓词是一种函数类型。

变量和常量

有一句老话（被称为奥斯本定律）说“变量不变量，常量也不常量”。完整地说，它是指变量不总是变化，常量也不总是恒定。结果是，变量和常量之间的区别最多是模糊的，很大程度上取决于上下文。通常，变量被认为代表任意或不特定的东西，而常量被认为代表一些特定的东西。从语法上讲，这类似于专有名词和普通名词之间的区别。习惯上用字母开头附近的字母表示常量，用字母结尾附近的字母表示变量。

例如，符号 $P(x)$ 代表一个谓词，它的值取决于变量 $x$ 。但是，符号 $P(a)$ ，其中 $a$ 是一个常量，代表真或假的一个特定值。换句话说， $P(a)$ 被认为是一个语句。

组合谓词

我们之前已经用过这个概念了，但值得再次强调的是，谓词和关系可以用逻辑连接词组合起来，就像语句一样。例如，给定谓词$P(x)$ 和 $Q(x)$，你可以创建一个新的谓词 $P(x)$ 蕴含 $Q(x)$ 和一个关系 $P(x)$ 蕴含 $Q(y)$。同样地，谓词和关系可以与语句组合，例如 $R(x,y)$ 当且仅当 S。

全称量词

有两个新的逻辑连接词可以应用于谓词和关系。第一个叫做全称量词，它被用来将谓词转换为语句。对谓词 $P(x)$ 应用全称量词，写作

对所有 $x$，$P(x)$

当 $P(x)$ 无论 $x$ 的值是什么，都为真时，该语句为真。用符号表示，写作

$\forall xP(x)$

但

$(x)P(x)$

也被使用。在运算顺序中，短语“对所有 $x$” 与否定运算符的优先级相同。

举个例子，我们来看一个谓词“x 是美丽的”。对这个谓词应用全称量词，得到

对所有 $x$，$x$ 是美丽的。

这与雷·史蒂文斯的那句话相同

万物皆美。

从逻辑的角度解释全称量词的一种方式是说

对所有 $x$，$P(x)$

与所有语句 $P(a)$ 的合取相同，其中 $a$ 取遍论域中的所有值。如果论域是有限的，那么可以明确地写出来。所以如果论域包含两个对象 'a' 和 'b'，那么

对所有 $x$，$P(x)$

与

$P(a)$ 和 $P(b)$.

它也可以被解释为

$P(b)$ 和 $P(a)$

但由于这些是等价的，所以你选择哪种解释都没有关系。

如果论域只有一个对象 'a' 那么

对所有 $x$，$P(x)$

仅仅是

$P(a)$.

如果论域没有任何对象，那么

对所有 $x$，$P(x)$

是

$True$.

这看起来可能有点违反直觉，但如果没有任何对象，那么就没有对象可以使语句 $P(a)$ 为假，因此语句

对所有 $x$，$P(x)$

是空真。

如果论域有三个或更多个对象，那么可能存在多种解释。例如，如果论域有三个对象 'a'、'b' 和 'c'，那么

对所有 $x$，$P(x)$

的一些可能的解释是

($P(a)$ 和 $P(b)$) 和 $P(c)$

$P(a)$ 和 ($P(b)$ 和 $P(c)$)

($P(c)$ 和 $P(b)$) 和 $P(a)$.

但反复应用

$P$ 和 $Q$ 当且仅当 $Q$ 和 $P$

以及

($P$ 和 $Q$) 和 $Q$ 当且仅当 $P$ 和 ($Q$ 和 $Q$)

我们已经证明了这两点，因此所有这些解释都是等价的。

所以如果论域中对象的个数是已知的且有限的，那么我们实际上并没有添加任何新内容。否则，我们添加了一些新内容，虽然我们可以使用这种解释来帮助决定全称量词的推理规则应该是什么。

约束变量和非约束变量

逻辑文本通常区分约束变量和非约束变量。出现在量词相关的变量是“约束的”，而那些以某种随机方式出现、不与量词相关的变量被认为是非约束的或自由的。这种区别通常不会出现在数学证明中，所以我们不会详细讨论它。相反，我们将强调谓词和语句之间的区别。像这样的表达式

$x$ 很美丽

包含一个非约束变量，被认为是一个谓词，因为它取决于变量 $x$。另一方面，像这样的表达式

对于所有 $x$，$x$ 很美丽

以及

爱丽丝很美丽

被认为是语句，因为它们要么是真，要么是假。

一些表达式，例如

对于所有 $x$，$R(x,y)$

既包含自由变量也包含约束变量。在这种情况下，表达式的真值仅取决于 $y$ 的值，因此可以将其视为变量 $y$ 的谓词。一般来说，如果一个表达式包含多个变量 $x,y,z,\dots ,$，那么在它前面加上短语“对于所有 $x$”就会创建一个仅取决于 $y,z,\dots .$ 的表达式。

你也可以在不涉及 $x$ 的表达式中添加短语“对于所有 $x$”。从技术上讲，表达式

对于所有 $x$，$Q$

这样做是为了隐式地创建一个谓词$Q(x)$，其值为恒定的$Q$，然后用以下语句替换：

对于所有$x$，$Q(x)$。

人们可能会认为

对于所有 $x$，$Q$

在逻辑上等价于$Q$，如果论域至少有一个对象，那么就是如此。但是，如果没有对象，那么

对于所有 $x$，$Q$

始终为真，而$Q$可能为假。这就是论域的本质在逻辑语句中得到反映的地方。宇宙是否包含任何对象的问题是通过确定语句

对于所有$x$，$False$

或其否定

并非对于所有$x$，$False$

为真。