数学证明与数学原理/预备知识

数学的研究建立在逻辑的基础上。所有严谨的数学论证都依赖于逻辑，因此理解和熟悉基本逻辑至关重要。

在此基础上构建了数学概念。这些概念的性质由逻辑陈述来描述，逻辑陈述由一组称为公理的基本陈述和从这些公理逻辑推导出的陈述组成。一些数学概念是根据更基本的概念来定义的，但存在一个底层，其中这些概念是未定义的。在这一点上，只有由公理给出的概念之间的关系被给出。这意味着数学对象的最终性质是不可知的，并且可能存在许多不同的解释。

在数学的研究中，理解符号和术语的作用和意义也很重要，符号和术语是用来描述数学的语言。尽可能地，这种语言是精确的，没有歧义的，这使得它不同于自然语言的正常使用。由于这种差异，需要一些时间和练习才能习惯数学语言，就像学习第二语言一样。

一些初始定义

我们最初的定义大多是直观的，而不是严格的。更严格的定义构成了理论的一部分，而这些理论本身就是研究的主题，鼓励读者查看正式的定义，但这些定义超出了本文的范围。

我们将称任何（数学）陈述为一个逻辑陈述，该陈述要么明确地为真，要么明确地为假。例如，“3 小于 4”是一个真实的逻辑陈述，“9 是偶数”是一个错误的逻辑陈述，而“本陈述为假”不是一个逻辑陈述。

每个陈述都有一个否定。如果一个陈述为真（假），它的否定就为假（真）。

我们定义单词集合的意思是“不同‘数学对象’的集合”（我们保留‘数学对象’一词未定义，但可以被认为是任何可以用数学方法描述的对象）。我们说一个对象是包含它的集合的元素。

我们定义单词函数的意思是：“一个将一个集合（称为定义域）中包含的每个元素明确地关联到另一个集合（称为值域）中一个元素的规则”。

符号

符号 ":=" 被定义为读作“定义为等于”，并用于定义用于指代常用对象的字母或符号。涉及符号 ":=" 的陈述总是被假定为真。符号 ":=" 和 "=" 之间存在一个微妙但重要的区别。例如，我们可能首先写“a:=4”。这定义了符号'a'等于 4，然后假设为真。然后，“a=5”和“a=4”是陈述，前者为假，后者为真。

陈述通常用字母 $P$ 和 $Q$ 来表示。

集合通常用大写字母 $A$ 和 $B$ 来表示。如果我们想表明一组对象构成一个集合，我们将使用花括号来表示它。例如，$\{1,2,3,4\}$ 是包含 1、2、3 和 4 的集合。

我们定义符号 "$\in$" 的意思是：“是……的元素”。所以，$x\in A$ 读作“$x$ 是（集合）$A$ 的元素”，并且是一个逻辑陈述。因此，例如 $1\in \{1,2,3,4\}$ 是一个真实的陈述，而 $5\in \{1,2,3,4\}$ 是错误的。

函数通常用字母 $f$ 和 $g$ 表示。如果集合 $A$ 是定义域，集合 $B$ 是函数 $f$ 的陪域，我们就写 $f:A\rightarrow B$，读作“$f$ 将 (集合) $A$ 映射到 (集合) $B$”。如果 $x\in A$，我们将使用符号 $f(x)$ 来表示陪域 $B$ 中与 $x$ 通过函数 $f$ 关联的元素。

在陈述中，一个词往往可以被替换。当出现这种情况时，$P$ 被称为谓词。例如，我们可以定义符号 $P(x)$ 表示“x 是奇数”。那么 $P(2)$ 和 $P(5)$ 都是语句，第一个语句是假的，第二个语句是真 的。

我们只直观地定义 **集合** 的概念，它是一个由称为集合 **元素** 的不同数学对象组成的集合。写集合的标准符号是“大括号”。例如，我们写 $A:=\{1,2,3,4\}$，这意味着“A”按定义是指包含元素“1”、“2”、“3”和“4”的集合。我们定义符号“$\in$”表示“是…的元素”。那么“$1\in A$”和“$5\in A$”都是语句，第一个语句是真 的，第二个语句是假的。

集合可以包含无限多个对象，甚至可以包含自身。一些最常用的无限集是 "自然数"，用 $\mathbb {N}$ 表示；"有理数"，用 $\mathbb {Q}$ 表示；以及 "实数"，用 $\mathbb {R}$ 表示。

集合也可以通过逻辑语句来定义。符号 "$\{x|P(x)\}$" 的意思是 "所有满足条件 P(x) 为真语句的 x 的集合"。例如，如果像之前一样，$P(x):=$ "x 是奇数"，那么 $\{x|P(x)\}$ 是所有奇数的集合。那么，语句 "$1234\in \{x|P(x)\}$" 是假的，而语句 "$1233\in \{x|P(x)\}$" 是真的。

对于任何集合 $A$，有时也会使用符号 "$\{x\in A|P(x)\}$"，意思是 "集合 A 中所有满足条件 P(x) 为真的 x 的集合"。