数学证明与数学原理/集合
集合论是现代数学基础的一部分。事实上，大多数数学对象可以用集合论的语言来描述。
由于集合是基础性的，我们不会试图用其他数学概念来定义它们。相反，我们通过给出一些规则，称为公理，来对它们进行形式化，从这些公理我们可以推导出我们感兴趣的所有其他集合属性。
首先，我们必须纠正你可能从学校学到的关于集合的一些错误印象。你可能学过集合被定义为事物的集合，并给出了一些例子，比如 .
首先，"集合"一词的定义用到了"集合"一词，意思几乎一样。这可能有助于建立对集合的某种直觉，但它最终是循环的；你不能用自身来定义事物。这就是为什么我们将"集合"一词作为未定义的概念；"集合"一词的直觉意义是"集合"的一种解释，但可能还有其他的。
其次，集合论的话语宇宙只包含集合；没有动物、颜色、国家等等。应该说，集合论的一些变体，特别是早期版本，允许使用所谓的尿素，它们不是集合。(“尿素”这个词发音为 ur-element，来自德语前缀 ur-，意思是根，加上“元素”一词。) 看起来，只有集合会导致一个相当贫瘠的理论，但人们在 20 世纪初意识到，这些尿素是不需要用来研究数学的。你所熟悉的所有数学对象，数字、函数、平面上点，都可以用集合来建模。注意，假设 "假设 是一个集合" 是没有意义的。对象 自动地是一个集合，因为它是我们话语宇宙中的一个对象，所以没有必要假设它是集合。
第三，虽然可以使用元素列表来定义集合，但这实际上是使用谓词来定义集合的一种特殊情况，正如通常所做的那样。因此，虽然你可以写 ，但这实际上是 的简写。
虽然我们不能用更基本的东西正式定义集合，但我们可以使用集合作为对象的集合的非正式思想作为直觉的指导。更具体地说，集合是元素的无序集合，没有重复。
"无序"的意思是元素没有特定的顺序。重新排序元素不会得到新的集合。"没有重复"的意思是集合的元素不被认为在集合中多次出现。它要么在集合中，要么不在其中。如果我们试图将一个已经在集合中的元素放入集合中，什么也不会改变。
我们用 表示 x 是集合 A 的元素。我们也可以用 表示 x 不是 A 的元素。
对于下面给出的例子，能够假设自然数 0、1、2、... 存在于我们的宇宙中，而不需要正式定义什么是数字，这一点非常方便。为了保持严格性，我们只在给出说明性例子时使用数字。我们对集合论的正式发展不依赖于数字，直到我们定义它们。我们将在后面证明数字可以被定义为集合，虽然一开始这似乎有点反直觉。
例如，我们以上面使用过的集合 为例。我们读作，P 是包含元素 0、2 和 5 的集合。用花括号括起来的列表是表示集合的标准符号，集合的元素就是列表中的条目。
由于集合的元素是无序的且没有重复，集合 与 P 相同。
另一个例子是 。这是通过理解来定义集合的一个例子，这意味着是否为元素由元素本身的某些性质决定。如上所述，这种定义集合的方法包含列表方法作为一种特例。
符号 读作，“x 是 y 的一个元素”，或，“x 在 y 中”，意思是 x 是 y 的元素之一。我们通常会在谓词符号上画一条斜线来否定谓词，因此在这种情况下，符号 表示 x 不是 y 的元素。在我们的例子中，
注意，我们已经定义了这里的一些集合符号，但这种符号假设所涉及的集合实际上存在。这必须从本章后面讨论的公理中证明。
集合由其中的元素定义的原理被称为外延性。它由 ZF 集合论的第一个公理描述。
集合论的公理化
[edit | edit source]集合论的公理化方法不止一种，但最流行的当属 ZF 集合论，它由大约九条规则描述，被称为 Zermelo-Fraenkel 公理。这些公理（我们将在维基教科书中详细讨论）如下所示：
- 外延性公理
- 存在性公理
- 对公理
- 并公理
- 理解公理模式
- 幂集公理
- 基础公理
- 无穷公理
- 替换公理模式
还有一个第十个公理，叫做选择公理，通常会添加它，形成 ZFC 集合论。但是，当某个特定结果需要选择公理时，数学家通常会明确说明这一点，因为选择公理不像其他公理那样没有争议。
ZF 集合论被广泛认为是一致的，但它符合哥德尔不完备性定理的条件；这意味着不可能证明它的自洽性。
已知该理论是不完备的，事实上，人们知道一些语句，这些语句本身或其否定都无法在 ZFC 中证明。其中最著名的就是连续统假设，我们将在后面讨论。
通常情况下，集合论的公理并非相互独立的。这部分原因是历史原因；策梅洛最初的公理版本随着时间的推移而扩展，这些扩展使得一些最初的公理变得多余。