经济学/动态数学

经济动态

相关比率是数学建模的常见范式。一对以 2x2 矩阵表示比率的微分方程需要求解矩阵微分方程。w:Giancarlo Gandolfo 在 经济动态 (1997)[1980] 的第 237 至 45 页中发展了该模型。另一种发展方法将矩阵空间 M(2, R) 作为一个带有平面子代数的实数 4 代数

抽象代数/2x2 实数矩阵

相关比率矩阵微分方程的解取决于包含该矩阵的 M(2, R) 中的特定平面。该解根据矩阵是否包含虚数单位或双曲单位而分叉。前者是周期性的，后者不是。

抽象代数/2x2 实数矩阵#微分方程

这些微分方程对确定性系统进行建模，而社会科学中则允许使用随机项。马尔可夫链是一种使用状态转换概率矩阵的随机模型。各列之和为 1。马尔可夫链是具有长期极限状态的概率模型。w:J. Laurie Snell 和 w:John G. Kemeny 将这些模型带入了课堂。

时间序列

经济的动态性在时间序列研究中很明显。这些研究基于在固定时间间隔记录的经济数据列表。例如，每个国家都有一个年度国内生产总值。这些研究可能显示领先指标，例如进入劳动力市场的年轻人的人口统计数据系列。一个系列可能与另一个系列相关的想法由相关系数精确表达。假设两个时间序列确定了 n 维空间中的两个点，其中 n 是列表的长度。然后，零列表和这两个点确定了 n 维空间中的一个平面。

定义： $R=\cos \Theta$ 是两个时间序列的相关系数，其中 Θ 是时间序列表示的点在 0 处的角度。

定义： R 接近于零的系列对是相关的。R 接近于 π 的系列对是反相关的。R 接近于 π/2 的系列对是不相关的或正交的。

时间序列分析涉及自相关的考虑，例如易受季节性变化影响的系列的同比数据。自相关研究缩短了列表的长度 n。例如，单周期差分 $t_{i}-t_{i-1}$ 将只有 n − 1 个值，其中 i 和 i – 1 都在索引集中。当 n 很大时，这种损失并不显著。

动态行为被分为趋势行为和周期行为，并考虑了冲击的影响。无论冲击的来源是什么，如果它来自系列环境之外，则相关的数点就会受到质疑。

动态因素可能会反弹，有时非常剧烈，给人类造成眩晕感。平滑时间序列的做法称为移动平均。这些平滑操作使用公式中的相邻数据点，从而减少了系列的抖动。

时间序列的常见数学方法涉及反移或滞后运算符 $BX_{i}=X_{i-1}.$ 以 1 作为恒等运算符， $(1-B)X_{i}=X_{i}-X_{i-1},$ 因此二项式 1 – B 表示一阶差分序列。一阶差分的平均值表示趋势线的步长，算术级数，与原始序列同起点和同终点。可以从原始序列中减去趋势，以获得趋势为零的序列。

现在考虑预测公式 $t_{i}=-t_{i-1}-t_{i-2}.$ 从任何两个数据值开始，计算第三个值。再次使用该公式将返回初始值。事实上，该公式生成一个三步序列，重复。该公式等效于三项式 1 + B + B² 设置为零。相关序列的重复性质可以看作是乘积 $1-B^{3}=(1-B)(1+B+B^{2})$ ，其中两个因子分别对应于常数序列或三步序列。