抽象代数/2x2实矩阵

2×2实矩阵的结合代数用M(2, R)表示。M(2, R)中的两个矩阵p和q的和为p + q，由矩阵加法给出。积矩阵p q由矩阵乘法形成。对于

$q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$令

$q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.$

那么q q^* = q^* q = (ad − bc) I，其中I是2×2单位矩阵。实数ad − bc称为q的行列式。当ad − bc ≠ 0时，q是可逆矩阵，并且

$q^{-1}={\frac {q^{*}}{ad-bc}}.$

所有这些可逆矩阵的集合构成一般线性群 GL(2, R)。在抽象代数的术语中，M(2, R)以及相关的加法和乘法运算形成了一个环，而GL(2, R)是它的单位群。M(2, R)也是一个四维向量空间，因此它也是一个结合代数。

2×2实矩阵与二维笛卡尔坐标系到自身的线性映射一一对应，其规则为

$(x,\ y)\mapsto (x,\ y){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=(ax+by,\ cx+dy).$

M(2,R)是所有三种平面角用面积表示的地方。M(2,R)被描述为实数线上的一支铅笔，由三种类型的2-代数共享，这些代数作为M(2,R)的子代数出现。它们分别是除法二元数、分裂二元数和对偶数，它们分别使用圆角、双曲角和斜率。

双曲角定义为y=1/x下方的面积。圆角等于半径为√2的圆的相应扇形的面积。同样，斜率等于以直线为底、顶点距直线√2距离的三角形的面积。

根据平面的类型，这些角度在运动下具有不变性。可以是旋转、挤压或剪切。首先讨论M(2,R)中虚数单位概念的推广。正是矩阵乘法产生了对平面的群作用，因此矩阵使它们成为面积保持者的特征接下来讨论。

平面子代数的铅笔

在综合几何中，术语铅笔用于表示给定点上的直线集，轴向铅笔用于表示给定直线上的平面集。这里，轴是单位矩阵I乘以实数的倍数集。不在此集合中的每个矩阵都包含在唯一的平面子代数中。这些子代数是除法二元数、分裂二元数或对偶数。

给定一个矩阵m，其中m²在{I, 0, −I}中，存在一个子代数

$P_{m}=\{xI+ym:x,y\in \Re \}.$

那么P_m是一个交换子代数，并且M(2, R) = ⋃P_m ，其中并集是对所有满足m² ∈ {−I, 0, I }的m进行的。

为了识别这样的m，首先对通用矩阵进行平方

${\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}.$

当a + d = 0时，这个平方是一个对角矩阵。

因此，当寻找m来形成交换子代数时，假设d = −a。当mm = −I时，bc = −1 − aa，这个方程描述了参数空间(a,b,c)中的双曲抛物面。这样的m用作虚数单位。在这种情况下，P_m同构于除法二元数，也称为（普通）复数域。

当mm = +I时，m是一个对合矩阵。那么bc = +1 − aa，也给出一个双曲抛物面。如果一个矩阵是幂等矩阵，它必须位于这样的P_m中，在这种情况下，P_m是环同构于分裂二元数。

幂零矩阵，mm = 0，的情况出现在b或c只有一个非零时，此时交换子代数P_m就是对偶数平面的一个副本。

当M(2, R)通过改变基底重新配置时，这个铅笔在分裂四元数中可见，其中I和−I的平方根集呈对称形状，如双曲面。

等面积映射

首先将一个微分向量转换为另一个微分向量

$(du,\ dv)=(dx,\ dy){\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=(p\ dx+r\ dy,\ \ q\ dx+s\ dy).$

面积用密度 $dx\wedge dy$，一种外积，其中 $dx\wedge dx=0=dy\wedge dy.$ 在线性映射中，这个微分2-形式被变换为

${\begin{aligned}du\wedge dv&=(p\ dx+r\ dy)\wedge (q\ dx+s\ dy)\\&=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&=(ps-qr)\ dx\wedge dy\\&=\det(g)\ dx\wedge dy.\end{aligned}}$

当行列式为1时，面积保持不变。因此，等面积映射被识别为 $SL(2,\mathbb {R} )=\{g\in M(2,\mathbb {R} ):\det(g)=1\},$，即特殊线性群。根据上述轮廓，每个这样的g都位于一个交换子环P_m中，根据m的平方表示一种复平面类型。由于g g* = I，以下三种情况之一会发生

• mm = −I 且g为欧几里得旋转，或者
• mm = I 且g为双曲旋转，或者
• mm = 0 且g为剪切映射.

面积的保持为研究平面上的共形映射提供了共同的基础。实际上，在分析中使用了三种角度，圆形和双曲角度以及斜率作为对偶数平面中角度的表达式。

2 × 2实矩阵的函数

M(2, R)的交换子代数决定了函数理论；特别是三种类型的子代数各自具有自己的代数结构，这些结构决定了代数表达式的值。平方根函数和对数函数的考虑说明了上述铅笔中每种类型子代数P_m的特殊性质所隐含的约束。

首先要注意，每个平面的可逆元素，即单位，构成一个具有一个、两个或四个连通分量的拓扑群。包含1的连通分量称为单位元连通分量。元素的极坐标包含一个角度因子

• 如果mm = −I，则z = ρ exp(θm)，其中θ为圆形角度。
• 如果mm = 0，则z = ρ exp(sm) 或z = −ρ exp(sm)，其中s为斜率。
• 如果mm = I，则z = ρ exp(a m) 或z = −p exp(a m) 或

z = m ρ exp(a m) 或z = −m ρ exp(a m)，其中a为双曲角度。

在第一种情况下，exp(θ m) = cos(θ) + m sin(θ)，被称为欧拉公式。

在对偶数的情况下，exp(s m) = 1 + s m。最后，在分裂二元数的情况下，单位元群中有四个连通分量。单位元连通分量由ρ和exp(a m) = cosh(a) + m sinh(a)参数化。

现在 ${\sqrt {\rho \ \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\ \exp \left({\frac {1}{2}}am\right)$ 不管子代数P_m是什么，但函数的自变量必须取自其单位元连通分量。在对偶数结构的情况下，半平面丢失了；在分裂二元数的情况下，必须排除四分之三的平面。

类似地，如果ρ exp(a m)是与2×2矩阵m相关联的平面的单位元连通分量的元素，则对数函数得出值为log ρ+ a m。对数函数的定义域受到与上面描述的平方根函数相同的约束：在mm = 0 或mm = I 的情况下，必须排除一半或四分之三的P_m。

2 × 2实矩阵作为复数的种类

每个 2×2 实矩阵都可以解释为三种（广义）复数之一：除数二元数、对偶数或分裂二元数。以上，2×2 矩阵的代数被描述为子代数 P_m 的并集，它们都共享相同的实轴。可以使用以下方法确定给定 2×2 矩阵属于哪种子代数

考虑 2×2 矩阵

$z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

通过投影找到包含 z 的子代数 P_m

如上所述，当 a + d = 0 时，矩阵 z 的平方是对角矩阵。矩阵 z 必须表示为单位矩阵 I 的倍数和超平面 a + d = 0 中的矩阵的和。将 z 交替投影到 R⁴ 的这些子空间上，得到

$z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI.$

此外，

$n^{2}=pI$ 其中 $p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc$.

现在 z 属于三种子代数之一

• 如果 p < 0，则它是一个除数二元数

  令 $q=1/{\sqrt {-p}},\quad m=qn$. 然后 $m^{2}=-I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p}}$.

• 如果 p = 0，则它是对偶数

  $z=xI+n$.

• 如果 p > 0，则 z 是一个分裂二元数

  令 $q=1/{\sqrt {p}},\quad m=qn$. 然后 $m^{2}=+I,\quad z=xI+m{\sqrt {p}}$.

类似地，2×2 矩阵也可以用极坐标表示，但要注意对偶数平面单位群有两个连通分量，而分裂二元数平面有四个连通分量。

射影群

给定一个 2 × 2 实矩阵，其中 ad ≠ bc，它对实射影线 P(R) 的射影坐标 [x : y] 的作用方式为线性分数变换

$[x:y]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+by:\ cx+dy].$ 当 cx + dy = 0 时，像点是无穷远点，否则

$[ax+by:\ cx+dy]\ \thicksim \left[{\frac {ax+by}{cx+dy}}:\ 1\right].$

与上一节中矩阵对平面的作用方式不同，矩阵对射影线 P(R) 的作用方式相同，所有成比例的矩阵都以相同的方式作用。

令 p = ad – bc ≠ 0。然后

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}.$

该矩阵在实射影直线上的作用是

$[x:y]{\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}\ =\ [px:py]\thicksim [x:y]$ 因为射影坐标。

因此，该作用是实射影直线上恒等映射的作用。所以

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ {\text{and}}\ {\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$ 作为乘法逆元。

射影群以 M(2,R) 的单位群 GL(2,R) 开始，然后如果它们成比例，则将两个元素联系起来，因为对 P(R) 的成比例作用是相同的：PGL(2,R) = GL(2,R)/~，其中 ~ 联系着成比例的矩阵。射影线性群 PGL(2,R) 的每个元素都是 ~ 下成比例的 2 × 2 实矩阵的等价类。

自治微分方程

微分方程 $f^{\prime }=af$ 的解是 $f(t)=\exp(at)+C,$ 其中 a 是给定的常数，C 是任意常数。

使用二元运算除法，方程 $f^{\prime }=af$ 可以解释为由 t 参数化的曲线的切线斜率：对于 i² = − 1，微分方程 $f^{\prime }=aif$ 的解是 $f(t)=\exp(ait)+C.$

类似地，对于 j² = +1，微分方程 $f^{\prime }=ajf$ 的解是 $f(t)=\exp(ajt)=\cosh at+j\sinh at,$ 单位双曲线的分支。

在自治微分方程 $f^{\prime }=Af,$ 中，矩阵 A 对应于常数二元运算，它将切线的斜率与曲线联系起来。矩阵微分方程的解由指数函数给出，使用该常数作为参数中的一个协因子。当常数是除法二元运算时，解是周期性的，当它是分裂二元运算时，解不是周期性的。显然，该常数也决定了 M(2,R) 的哪个子代数包含解曲线。

虽然线性代数以联立线性方程为基础，但存在微分方程系统解的存在定理

${\frac {du_{i}}{dt}}=\sum _{k=1}^{p}c_{ik}u_{k}\quad (i=1,...p)\quad {\text{where the}}\quad c_{ik}$ 是连续函数。

这里p = 2，矩阵是常数，并且给出了解。但是，数学读者需要进行一些符号上的体操。按照传统，矩阵写在左边，并使用函数符号。因此，与之前章节中将行向量输入矩阵不同，该函数被视为列向量，读者必须从二进制中重建它。

参考文献

• w:Rafael Artzy (1965) 线性几何，第 2-6 章 实数域上平面仿射群的子群，第 94 页，Addison-Wesley。
• Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "运动学代数及其几何", 可以在以下找到
  • 环与几何，R. Kaya，P. Plaumann 和 K. Strambach 编辑，第 437–509 页，特别是 449、50，D. Reidel，ISBN 90-277-2112-2 。
• Svetlana Katok (1992) 富克斯群，第 113 页及以后，芝加哥大学出版社 ISBN 0-226-42582-7 。
• Garret Sobczyk (2012)。“第 2 章：复数和双曲数”。数学新基础：数的几何概念。Birkhäuser。 ISBN 978-0-8176-8384-9.