经济学数学/双曲线

经济学中的双曲线

矩形双曲线及其半径描绘了经济数据的范围

简介

本章对数学经济学的方法是几何的。正比和反比对应于第一象限中确定射线和双曲线支的常数。经济学中的工资、划分、股票和市场动态等主题的例子说明了进入这种数学环境的过程，这些主题仅作了简要介绍。然后，学生应掌握双曲线几何。

1863 年，W. S. 杰文斯阐明了在比率尺度中研究平均值的理论。他写道：“为了取两个比率的几何平均数，我们必须将它们相乘，然后开方。”他利用 39 种商品的历史价格上涨情况，估算了金本位制在法国贸易和新世界矿产开采中的贬值情况。

w:约翰·冯·图能在 1826 年将双曲线引入经济学，当时他使用两个值的几何平均数来确定第三个值。极端最低工资（使工人勉强生存）远低于使用雇主工具时的生产价值，这证明了资本化。冯·图能通过将这两个值相乘，然后开方来解决决定支付工资的问题。这种代数过程被称为取两个原始值的几何平均数，冯·图能称之为自然工资。当设定自然工资时，给出该结果的两个原始值的图形是一个双曲线。

等分函数p = S/n适用于n个接收者，其中S是总供给$S=\sum _{1}^{n}p.$当供应S被平均分配时，等分函数提供了分配的量p。当n是一个自然数时，例如在社会分配中，点 (1, S)、(2, S/2)、... (k, S/k) 位于笛卡尔平面中。当n取整数之间的实数值时，这些点通过平滑曲线y = p(n) = S/n连接起来。

一家公司有x千股公开持有，今天这些股票的价格是k美元。就市值而言，产品x k 000 代表公司在股票市场的价值。随着k每天变化，公司价值也会随之波动。有时，管理层会发现k过低，并且公司资金被用来回购一些股票，从而减少x。市场价值保持不变的坐标 (x, k) 形成了一个双曲线。

供求关系被认为是反向相关的。商品的价格是一个商业因素，价格和需求之间的关系如下：高价抑制需求，低价增加需求。供给由供应商决定，供应商设定价格，在稀缺情况下，价格可能非常高。

使得x>0 且y>0 的点 (x, y) 称为笛卡尔平面的第一象限 Q。在杰文斯的政治经济学理论中可以看到类似于双曲线支的曲线。

在 Q 中观察到的经济行为可以从与之相关的微分几何学中得到启发：Q 是一个二维流形，(0,0) 是唯一的边界点。实际上，当引入径向坐标和双曲线角坐标时，Q 可以被视为罗巴切夫斯基双曲平面的一个副本。

确定双曲线的径向坐标是第一个例子中的工资水平，第二个例子中的供给 S，第三个例子中的公司价值。在零售业中，总销售额构成径向坐标。双曲线角是相应双曲线扇形对单位半径的面积。虽然传统的圆周角小于 360 度或 2 π 弧度，但双曲线角是无界的。因此，需要一个零点来锚定其测量。根据传统，双曲线xy= 1 上的点 (1,1) 是零点。然后由 (x, 1/x) 决定的双曲线角为 log x，即以 e = 2.718... 为底的自然对数。

对于双曲度量几何，双曲线角确定一个水平轴，垂直轴由 Q 中径向坐标的平方根给出。上半平面 H 中的这些新坐标被赋予了一个度量，这是一个满足三角不等式的正距离函数。通过 H 跟踪 Q 中的运动距离，无论时间是天、周、月还是年，都为长期和短期视角提供了一致的测量方法。

衡量个人或社区成熟度的指标之一是愿意在工作完成之前延迟奖励。心理学中的研究主题是延迟满足。经济学中的研究被称为折现，这是一个消费者行为因素，其中未来的收益与较早的较小收益进行比较。经济学研究的一个令人鼓舞的结果表明，人们更喜欢双曲线折现而不是指数折现，这令人鼓舞，因为合理的人会使用这种延迟满足的模式，这是谚语中的经济人的标志，这一点有时在其他情况下受到质疑。

修正百分比

对于双曲线xy=1，当b/a=e时，角度为 1.0 翅

货币的时间价值被生活必需品价格的通货膨胀深刻地体现出来。随着商业成本上升，商品和服务的价格反映了货币的趋势。更客观地说，经济学家可能会将这种变化表达为事实上的货币贬值。双曲线角的翅单位遵循自然对数的单位，因此 (1,1) 和 (e,1/e) 之间的角度为一个单位。1% 的变化发生在 1 和 1.01 之间，log_e (1.01) = .0099503 翅或 9.9503 毫翅。前十个百分点的角值如下

• 1%: 9.9503 毫翅  6%: 58.269 毫翅
• 2%: 19.8026     "    7%: 67.659     "   
• 3%: 29.558     "     8%: 76.691    "   
• 4%: 39.2207     "     9%: 86.178     "   
• 5%: 48.790     "     10%: 95.310     "   

从一个百分点到下一个百分点的增量在减小；第一个百分点的角度最大。相反，对于以纳翅为单位测量的机械速度，每次边际增量几乎与前一步相同。（比较运动学/变换）当然，这里用于经济学的毫翅是机械学中纳翅的百万倍。

经济规律适用于宏观和微观尺度，只要人口存在。因此，象限在原点附近具有无限密度，水平曲线 xy = 常数表示参考，但不是 Q 中的最小距离曲线，如下所述。Q 的双曲线角参数化补充了水平曲线，并为 Q 的更高几何学提供了一个入口：从 (0,0) 出发的射线代表恒定的斜率以及恒定的双曲线角。具有正 v 的半平面 (u,v) 取 xy 的几何平均数（平方根）来确定 v。Q 中一点的双曲线角对应于半平面中的 u：u = log √(x/y)。

半平面是双曲线几何的标准模型，通常与圆盘模型和复数一起使用，其中线性分数变换建立了连接。半平面中的测地线或最短距离曲线是圆心位于 u 轴上的半圆，或半直线 { (x₀, y) : y > 0 }，x₀ 固定。半平面中的一点 (u,v) 对应于 Q 中由 x = v exp(u) 和 y = v exp(−u) 给出的点。当半平面的测地线绘制在 Q 中时，会提示一个经济增长和衰退的场景。例如，某种产品的生产随着其找到市场而增加，达到其受欢迎程度的顶峰，然后随着其被市场取代而下降。类似地，一家公司从小型企业起步，随着成功而成长，这可以从 Q 中的历史点进行跟踪。但请注意，Q 中汇聚于原点的射线对应于半平面中的垂直线，这些垂直线在 u 轴上具有不同的脚点。半平面对 Q 中现象的表达的这一特征允许宏观和微观市场分析的兼容性。

度量几何

半平面中的双曲线线段，以红色表示绝对值。

按照亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）开创的传统，半平面的边界称为**绝对**：$\{(u,\ v):v>0,\ \ u\in \mathbb {R} \}.$ 用于测地线的半圆的圆心位于绝对上。

为了在 Q 中进行有意义的测量，参考半平面带来了一个由运动所尊重的度量。这些是对应于所用双曲平面模型的双曲运动，在本例中是半平面（通过双射对应关系，Q 中的度量）。

第一个运动是关于 (0,0) 的放大或收缩： (u,v) 到 (su, sv)，其中 s>0。第二个运动是沿着绝对的平移： (u, v) 到 (u + t, v)。这些运动使任何以绝对为圆心的半圆等价于单位半圆 u u + v v = 1。事实上，圆心可以通过平移移动到 (0,0)，半径可以通过放大或收缩归一化。

从 (u, a) 到 (u, b) 的垂直区间，其中 b > a，被映射到从 (su, sa) 到 (su, sb) 的区间。该区间的距离公式或度量是 log b – log a = log (b/a)，它在该运动下是不变的。第二种类型的运动将半平面向左或向右移动： (u, v) 到 (u + t, v)。从 Q 的角度看，这样的运动对应于一个**双曲旋转**，这是一种保留 Q 中双曲角差的线性变换。

第三个双曲运动是一个对合，它涉及在半平面中的单位半圆上的反演。在这个反演下，射线 (1, tan θ)，0 < θ < π/2，它是单位圆的切线，被映射到以 (½ , 0) 为圆心、半径为 ½ 的半圆。由于$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta ,$ 在 [0,1] 到 (1, tan θ) 上的直角三角形的斜边长度为 sec θ，因此倒数是 cos θ，导致了上述半圆。现在，该半圆上的任何区间都对应于垂直射线上的一个区间，因此在这个半圆上定义了距离。调用第二个运动将圆心移到 (0, 0)，调用第一个运动将半径翻倍，从而得到单位半圆。因此，单位半圆上的任何区间都具有与以 (½ , 0) 为圆心、半径为 ½ 的半圆相对应的距离。显然，任何以绝对为圆心的半圆都有一个距离公式可以应用于区间。

这种双曲几何在微分几何中作为负曲率曲面出现。它是一个鞍面，因为每个点都有一个在欧几里得几何中找不到的膨胀特征。这里用笛卡尔几何和标准三角学给出的处理方法提供了不需要复数的可访问性。