运动学/变换

运动学和 SL(2,R)

运动学是研究运动而不考虑力或动量。SL(2,R) 是 2 x 2 实矩阵的特殊线性群，其行列式为 1。它是一个三维的连续群，因为四个矩阵元素受行列式固定为 1 的约束。

坐标平面可以作为参考系 (t, x)。当 SL(2, R) 的一个元素作用于坐标平面时，由于行列式条件，图形的面积得以保持。一些矩阵会使平面旋转，这既保持距离也保持面积。零加速度的运动学变换由保持面积但不保持距离的矩阵表示。

第一个例子是速度为 v 的线性运动，其中 x 的新位置在时间 t 后为 x + vt。线性变换表示为

$(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(t,tv+x).$

它在线性代数中被称为剪切变换。这种剪切变换是经典力学的一部分，在电子时代已被以下方式取代

当 x=0 时，x = tanh x

运动学中的最高速度是光速 c，因此运动学速度 v 满足 v < c 或 v /c < 1。使用双曲角和双曲正切函数引入了快度的概念。此函数也以 1 为上限，因此快度 w 满足 tanh w = v /c。参考系的改变通过双曲旋转完成

$(t,x){\begin{pmatrix}\cosh w&\sinh w\\\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}},$

其中 cosh w 是 w 的双曲余弦，sinh w 是 w 的双曲正弦。三角恒等式

$\cosh ^{2}w-\sinh ^{2}w=1$ 确认变换位于 SL(2, R) 中。

用双曲角测量的速度使用翼作为单位，其中一翼是水中的光速，正如w:Ludwik Silberstein 在其《相对论》一书（1914 年）第 181 页中所述。更常见的是，人们用英制单位英里每小时 (mph) 来描述更低的速度。显然，一英里每小时等于 1 英里/3600 秒，而 c = 186,000 英里每秒。比率 1 mph/c 大约为 1.5 x 10⁻⁹。因此，每小时一英里的快度 w 满足 tanh w = 1.5 x 10⁻⁹。

由于 tanh w 的导数为 sech² w，tanh w 的最大变化率为 1（当 w=0 时），并且远离零，tanh 的斜率接近零。因此，对于 w 的小值，tanh 的行为与恒等函数相同。因此，对应于每小时一英里的快度为 1.5 纳米翼，其中纳米翼为 10⁻⁹ 翼。每小时一百英里的快速球有 150 纳米翼的快度。每小时一公里为 0.9375 纳米翼。

回想一下，旋转位于 SL(2,R) 中，并注意这些变换的角量度。线性运动的经典和现代变换也具有角量度：斜率和双曲角的差异。有关详细信息，请参见几何/统一角。