测度论/收敛定理

定理（单调收敛定理）:

设 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一个测度空间，并且令 $f_{n}:\Omega \to [0,\infty ]$ 是一个单调上升（即 $f_{n+1}\geq f_{n}$ 按点）的非负函数序列，它按点收敛于一个函数 $f:\Omega \to [0,\infty ]$。然后

$\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}d\mu =\int _{\Omega }fd\mu$.

定理（法图引理）:

设 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一个测度空间，并且令 $f_{n}:\Omega \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ 是一个非负函数序列。然后

$\int _{\Omega }\liminf _{n\to \infty }f_{n}d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}d\mu$.

证明： 注意到，在定义

$g_{N}:=\inf _{k\geq N}f_{n}$,

之后，函数序列 $g_{N}$ 是严格递增的，并且当 $N\to \infty$ 时按点收敛于 $f$。因此，单调收敛定理 是适用的，我们得到

$\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }g_{N}d\mu =\int _{\Omega }fd\mu$.

现在对于每个 $N\in \mathbb {N}$，我们有

$\int _{\Omega }g_{N}d\mu \leq \int _{\Omega }f_{N}d\mu$,

并且如果我们取 lim inf，

$\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }g_{N}d\mu =\liminf _{N\to \infty }\int _{\Omega }g_{N}d\mu \leq \liminf _{N\to \infty }\int _{\Omega }f_{N}d\mu$. $\Box$